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小升初真题之组合原理

1、如图,在时钟的表盘上任意作的扇形,使得每一个扇形都恰好覆盖个数,且每两个扇形覆盖的数不全相同,求证:一定可以找到个扇形,恰好覆盖整个表盘上的数.并举一个反例说明,作个扇形将不能保证上述结论成立.

【答案及解析】

在表盘上共可作出 12个不同的扇形,且 112中的每个数恰好被 4个扇形覆盖.将这 12个扇形分为 4组,使得每一组的 3个扇形恰好盖住整个表盘.那么,根据抽屉原理,从中选择 9个扇形,必有个扇形属于同一组,那么这一组的 3个扇形可以覆盖整个表盘.

另一方面,作 8个扇形相当于从全部的 12个扇形中去掉 4个,则可以去掉盖住同一个数的 4个扇形,这样这个数就没有被剩下的 8个扇形盖住,那么这 8个扇形不能盖住整个表盘.

2、对四位数,若存在质数和正整数,使,且,求这样的四位数的最小值,并说明理由.

【答案及解析】

因为 2 2 -5< 03 3 -5= 225 5 -5太大,所以.因为3的幂,所以四个数字中不能包含 3以外的质因子,也就是说只能含有 139

观察可知恰好有,所以最小的这样的四位数是 1399

3、有 5个连续自然数,它们的和为一个平方数,中间三数的和为立方数,则这五个数中最小数的最小值为______.

【答案及解析】

设中间数是,则它们的和为, 中间三数的和为

由于是平方数,设 5 x= 5 2× a 2,则 x= 5 a 23 x= 15 a 2= 3× 5× a 2是立方数,所以 a 2至少含有 35的质数因数各 2个,即 a 2至少是 225,中间的数至少是 1125,那么这 5个数中最小值为 1123

4、一根 101厘米长的木棒,从同一端开始,第一次每隔 2厘米画一个刻度,第二次每隔 3厘米画一个刻度,第三次每隔 5厘米画一个刻度,如果按刻度把木棒截断,那么可以截出段.

【答案及解析】

要求出截出的段数,应当先求出木棒上的刻度数,而木棒上的刻度数,相当于 123、…、 100101101个自然数中 235的倍数的个数,为:

表示不超过的最大整数

故木棒上共有 74个刻度,可以截出 75段.