知识点睛:
正方形:我与两位大哥可比不了,我只有两条生产线,但是我却能在你们的基础上生产产品.( 1)如果是矩形再证一组邻边相等就能得到正方形;( 2)如果是菱形再证一个角为直角就能得到正方形.下面举例说明,供同学们学习是参考.
解题指导:
生产线一:利用有一组邻边相等的矩形是正方形.
基本思路:“矩形”+“一组邻边相等”=“正方形”
例 1、如图 1,在△ ABC中,∠ A= 90°, D是 BC边上的中点, DE⊥ AB于点 E, DF⊥ AC于点 F,且 BE= CF.求证:四边形 AEDF是正方形.
证明:∵ DE⊥ AB, DF⊥ AC,
∴∠ DEA=∠ DFA= 90°.
∵∠ A= 90°,
∴四边形 AEDF是矩形.
在 Rt△ BED和 Rt△ CFD中,
∵ BD= CD, BE= CF,
∴ Rt△ BED≌ Rt△ CFD.
∴ DE= DF.
∴四边形 AEDF是正方形.
生产线二:利用有一个角是直角的菱形是正方形.
基本思路:“菱形”+“一个角是直角”=“正方形”
例 2、如图 2,顺次延长正方形 ABCD的各边 AB、 BC、 CD、 DA至点 E、 F、 G、 H,且使 BE= CF= DG= AH.求证:四边形 EFGH是正方形.
证明:∵四边形 ABCD是正方形,
∴ AB= BC= CD= DA,∠ EBF=∠ HAE=∠ GDH=∠ FCG.
∵ BE= CF= DG= AH,
∴ CG= DH= AE= BF.
∴△ AEH≌△ CGF≌△ DHG.
∴ EF= FG= GH= HE,∠ EFB=∠ HEA.
∴四边形 EFGH为菱形.
∵∠ EFB+∠ FEB= 90°,∠ EFB=∠ HEA,
∴∠ FEB+∠ HEA= 90°.
∴四边形 EFGH是正方形.
自我测试:
如图 3,从正方形 ABCD的对角线的交点 O分别向各边引垂线,垂足分别为 E、 F、 G、 H.求证:四边形 EFGH为正方形.
参考答案:
证明:∵四边形 ABCD是正方形,
∴∠ DAB= 90°, AC平分∠ DAB.
又∵ OH⊥ AD, OE⊥ AB,
∴ OH= OE.
同理可证 OF= OE, OG= OF, OH= OG,
∴ OH= OE= OF= OG.
∵ OH⊥ AD, OF⊥ BC, AD// BC,
∴点 H、 O、 F在同一直线上.
同理点 E、 O、 G在同一直线上.
∴ EG与 HF相等且互相平分,
∴四边形 EFGH为矩形.
在四边形 AEOH中,∠ DAB=∠ AHO=∠ AEO= 90°,
∴∠ EOH= 90°.即 HF⊥ EG.
∴矩形 EFGH为正方形.