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正方形组装生产线

知识点睛:

正方形:我与两位大哥可比不了,我只有两条生产线,但是我却能在你们的基础上生产产品.( 1)如果是矩形再证一组邻边相等就能得到正方形;( 2)如果是菱形再证一个角为直角就能得到正方形.下面举例说明,供同学们学习是参考.

解题指导:

生产线一:利用有一组邻边相等的矩形是正方形.

基本思路:“矩形”+“一组邻边相等”=“正方形”

1、如图 1,在△ ABC中,∠ A= 90°, DBC边上的中点, DEAB于点 EDFAC于点 F,且 BE= CF.求证:四边形 AEDF是正方形.

证明:∵ DEABDFAC

∴∠ DEA=∠ DFA= 90°.

∵∠ A= 90°,

∴四边形 AEDF是矩形.

RtBEDRtCFD中,

BD= CDBE= CF

RtBEDRtCFD

DE= DF

∴四边形 AEDF是正方形.

生产线二:利用有一个角是直角的菱形是正方形.

基本思路:“菱形”+“一个角是直角”=“正方形”

2、如图 2,顺次延长正方形 ABCD的各边 ABBCCDDA至点 EFGH,且使 BE= CF= DG= AH.求证:四边形 EFGH是正方形.

证明:∵四边形 ABCD是正方形,

AB= BC= CD= DA,∠ EBF=∠ HAE=∠ GDH=∠ FCG

BE= CF= DG= AH

CG= DH= AE= BF

∴△ AEH≌△ CGF≌△ DHG

EF= FG= GH= HE,∠ EFB=∠ HEA

∴四边形 EFGH为菱形.

∵∠ EFB+∠ FEB= 90°,∠ EFB=∠ HEA

∴∠ FEB+∠ HEA= 90°.

∴四边形 EFGH是正方形.

自我测试:

如图 3,从正方形 ABCD的对角线的交点 O分别向各边引垂线,垂足分别为 EFGH.求证:四边形 EFGH为正方形.

参考答案:

证明:∵四边形 ABCD是正方形,

∴∠ DAB90°, AC平分∠ DAB

又∵ OHADOEAB

OHOE

同理可证 OFOEOGOFOHOG

OHOEOFOG

OHADOFBCAD// BC

∴点 HOF在同一直线上.

同理点 EOG在同一直线上.

EGHF相等且互相平分,

∴四边形 EFGH为矩形.

在四边形 AEOH中,∠ DAB=∠ AHO=∠ AEO90°,

∴∠ EOH90°.即 HFEG

∴矩形 EFGH为正方形.