知识点睛：

菱形：矩形工厂的生产线真的不错，但是与我们菱形工厂的三条生产线比起来就有差距了．我们的生产线是生产菱形，分别是：（ 1）四边相等四边形是菱形；（ 2）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（ 3）利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

下面让我们去看一看它们是如何具体操作的吧．

解题指导：

生产线一：利用四边相等四边形是菱形．

基本思路：“四边形”+“四边相等”=“菱形”

例 1、（ 2012年浙江温州中考试题）如图 1，△ ABC中，∠ B= 90°， AB= 6 cm， BC= 8 cm．将△ ABC沿射线 BC方向平移 10 cm，得到△ DEF，点 A、 B、 C的对应点分别是点 D、 E、 F，连接 AD．求证：四边形 ACFD是菱形．

证明：由平移性质，知 CF= AD= 10 cm， DF= AC．

∵∠ B= 90°， AB= 6 cm， BC= 8 cm，

∴_{10 cm．}

∴ AC= DF= AD= CF= 10 cm，

∴四边形 ACFD是菱形．

生产线二：利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

基本思路：“平行四边形”+“一组邻边相等”=“菱形”

例 2、( 2012年山东省聊城市中考试题）如图 2，矩形 ABCD的对角线相交于点 O， DE// AC， CE// BD．求证：四边形 OCED是菱形．

证明：∵ DE// AC， CE// BD，

∴四边形 OCED是平行四边形．

∵ BD、 AC是矩形 ABCD的对角线，

∴ AC= BD．

∴ OC= AC， OD= BD．

∴ OC= OD．

∴四边形 OCED是菱形．

生产线三：利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形

基本思路：“平行四边形”+“对角线互相垂直”=“菱形”

例 3、（ 2012年云南中考试题改编）如图 3，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点,与相较于点，与相较于点，连接．

求证：四边形是菱形；

证明：∵四边形是矩形，

∴ AD∥ BC．

∴∠ MDO=∠ NBO．

∵是的垂直平分线，

∴∠ MOD=∠ NOB= 90°， BO= DO．

∴△ MOD≌△ NOB．

∴ MO= NO．

∴四边形 BMDN是平行四边形．

∴□ BMDN是菱形．

自我检测：

1、（ 2012年湖北恩施中考试题）如图，在△ ABC中， AD⊥ BC于点 D，点 D、 E、 F分别是 BC、 AB、 AC的中点．求证：四边形 AEDF是菱形．

2、（ 2012年江苏常州中考试题）如图，在四边形 ABCD中， AD∥ BC，对角线 AC的中点为 O，过点 O作 AC的垂直平分线分别与 AD、 BC相交于点 E、 F，连接 AF．求证： AE= AF．

参考答案：

1．证明：∵点 D、 E、 F分别是 BC、 AB、 AC的中点，

∴ DE∥ AC， DF∥ AB．

∴四边形 AEDF是平行四边形．

又∵ AD⊥ BC， BD= CD，

∴ AB= AC， AE= AF．

∴平行四边形 AEDF是菱形．

2．证明：连接 CE．

∵ AD∥ BC，

∴∠ AEO=∠ CFO，∠ EAO=∠ FCO．

又∵ AO= CO，

∴△ AEO≌△ CFO（ AAS）．

∴ AE= CF．

∴四边形 AECF是平行四边形．

又∵ EF⊥ AC，

∴平行四边形 AECF是菱形．

∴ AE= AF．