知识点睛：

矩形工厂中有三条生产线，它们可以将四边形生产成为矩形，这三条生产线分别是：（ 1）有三个角是直角的四边形是矩形；（ 2）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；（ 3）对角线相等的平行四边形是矩形．

下面让我们去看一看它们是如何具体操作的吧

解题指导：

生产线一：利用三个角是直角的四边形是矩形．

基本思路：“四边形”+“四角相等”=“矩形”

例 1、（ 2012年青海省西宁市中考试题）如图 1，在菱形 ABCD中， AB= AC， E、 F分别是 BC、 AD的中点，连接 AE、 CF．求证：四边形 AECF是矩形.

证明：∵四边形 ABCD是菱形，∴ AB= BC.

∵ AB= AC，∴△ ABC是等边三角形.

∵点 E是 BC的中点，∴ AE⊥ BC.

∴∠ AEC= 90°.同理∠ AFC= 90°.

∵ AD∥ BC，∴∠ FCE=∠ AFC= 90°.

∴四边形 AECF是矩形.

生产线二：利用有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

基本思路：“平行四边形”+“一个角是直角”=“矩形”

例 2、（ 2012年吉林省中考试题）如图 2，在△ ABC中， AB= AC， D为 BC边上一点，以 AB、 BD为邻边作□ ABDE，连接 AD、 EC．若 BD= CD.求证：四边形 ADCE是矩形．

证明：∵四边形 ABDE是平行四边形，

∴ BD∥ AE， BD= AE.所以 AE∥ CD.

∵ BD= CD，∴ AE= CD.

∴四边形 ADCE是平行四边形，

在△ ABC中， AB= AC， BD= CD，

∴ AD⊥ BC.∴∠ ADC= 90°.

∴□ ADCE是矩形.

生产线三：利用对角线相等的平行四边形是矩形

基本思路：“平行四边形”+“两条对角线相等”=“矩形”

例 3、（ 2012年青海省中考试题）如图 3， D是△ ABC的边 AB上一点， CN∥ AB， DN交 AC于点 M， MA= MC．

（ 1）求证： CD= AN；

（ 2）若∠ AMD= 2∠ MCD，求证：四边形 ADCN是矩形．

证明：（ 1）因为 CN∥ AB，

∴∠ DAC=∠ NCA，

在△ AMD和△ CMN中，

∵，

∴△ AMD≌△ CMN.∴ AD= CN.

∵ AD∥ CN，

∴四边形 ADCN是平行四边形，

∴ CD= AN.

( 2)∵∠ AMD= 2∠ MCD，∠ AMD=∠ MCD+∠ MDC，

∴∠ MCD=∠ MDC.∴ MD= MC.

由( 1)知四边形 ADCN是平行四边形，

∴ MD= MN= MA= MC.

∴ AC= DN.∴四边形 ADCN是矩形．

自我测试：

1、（ 2012内蒙古赤峰中考试题）如图 4，点 O是线段 AB上的一点， OA= OC， OD平分∠ AOC交 AC于点 D， OF平分∠ COB， CF⊥ OF于点 F．求证：四边形 CDOF是矩形．

2、（ 2012六盘水中考试题）如图 5，已知 E是□ ABCD中 BC边的中点，连接 AE并延长 AE交 DC的延长线于点 F．连接 AC、 BF，若∠ AEC= 2∠ ABC，求证：四边形 ABFC为矩形．

参考答案：

1、∵ OD平分∠ AOC， OF平分∠ COB，

∴∠ COD=∠ AOC，∠ COF=∠ COB.

∴∠ COD+∠ COF=∠ AOC+∠ COB=(∠ AOC+∠ COB)=× 180°= 90°，即∠ DOF= 90°.

∵ OA= OC， OD平分∠ AOC，

∴ OD⊥ AC， AD= DC.∴∠ CDO= 90°.

∵ CF⊥ OF，∴∠ CFO= 90°．

∵∠ DOF= 90°，∠ CDO= 90°，∠ CFO= 90°，

∴四边形 CDOF是矩形．

2、∵四边形 ABCD为平行四边形，

∴ AB∥ DC.∴∠ ABE=∠ ECF.

又∵ E为 BC的中点，∴ BE= CE.

在△ ABE和△ FCE中，

∵∠ ABE=∠ ECF， BE= CE，∠ AEB=∠ FEC，

∴以△ ABE≌△ FCE（ ASA）.

∴ BE= EC， AE= EF.

∴四边形 ABFC为平行四边形．

又∵∠ AEC= 2∠ ABC，且∠ AEC为△ ABE的外角，

∴∠ AEC=∠ ABC+∠ EAB.

∴∠ ABC=∠ EAB.∴ AE= BE.

∴ AE+ EF= BE+ EC，即 AF= BC.

∴四边形 ABFC为矩形.