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矩形组装生产线

知识点睛:

矩形工厂中有三条生产线,它们可以将四边形生产成为矩形,这三条生产线分别是:( 1)有三个角是直角的四边形是矩形;( 2)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;( 3)对角线相等的平行四边形是矩形.

下面让我们去看一看它们是如何具体操作的吧

解题指导:

生产线一:利用三个角是直角的四边形是矩形.

基本思路:“四边形”+“四角相等”=“矩形”

1、( 2012年青海省西宁市中考试题)如图 1,在菱形 ABCD中, AB= ACEF分别是 BCAD的中点,连接 AECF.求证:四边形 AECF是矩形.

证明:∵四边形 ABCD是菱形,∴ AB= BC.

AB= AC,∴△ ABC是等边三角形.

∵点 EBC的中点,∴ AEBC.

∴∠ AEC= 90°.同理∠ AFC= 90°.

ADBC,∴∠ FCE=∠ AFC= 90°.

∴四边形 AECF是矩形.

生产线二:利用有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

基本思路:“平行四边形”+“一个角是直角”=“矩形”

2、( 2012年吉林省中考试题)如图 2,在△ ABC中, AB= ACDBC边上一点,以 ABBD为邻边作□ ABDE,连接 ADEC.若 BD= CD.求证:四边形 ADCE是矩形.

证明:∵四边形 ABDE是平行四边形,

BDAEBD= AE.所以 AECD.

BD= CD,∴ AE= CD.

∴四边形 ADCE是平行四边形,

在△ ABC中, AB= ACBD= CD

ADBC.∴∠ ADC= 90°.

∴□ ADCE是矩形.

生产线三:利用对角线相等的平行四边形是矩形

基本思路:“平行四边形”+“两条对角线相等”=“矩形”

3、( 2012年青海省中考试题)如图 3D是△ ABC的边 AB上一点, CNABDNAC于点 MMA= MC

1)求证: CD= AN

2)若∠ AMD= 2MCD,求证:四边形 ADCN是矩形.

证明:( 1)因为 CNAB

∴∠ DAC=∠ NCA

在△ AMD和△ CMN中,

∴△ AMD≌△ CMN.AD= CN.

ADCN

∴四边形 ADCN是平行四边形,

CD= AN.

( 2)∵∠ AMD= 2MCD,∠ AMD=∠ MCD+∠ MDC

∴∠ MCD=∠ MDC.MD= MC.

由( 1)知四边形 ADCN是平行四边形,

MD= MN= MA= MC.

AC= DN.∴四边形 ADCN是矩形.

自我测试:

1、( 2012内蒙古赤峰中考试题)如图 4,点 O是线段 AB上的一点, OA= OCOD平分∠ AOCAC于点 DOF平分∠ COBCFOF于点 F.求证:四边形 CDOF是矩形.

2、( 2012六盘水中考试题)如图 5,已知 E是□ ABCDBC边的中点,连接 AE并延长 AEDC的延长线于点 F.连接 ACBF,若∠ AEC= 2ABC,求证:四边形 ABFC为矩形.

参考答案:

1、∵ OD平分∠ AOCOF平分∠ COB

∴∠ COD=AOC,∠ COF=COB.

∴∠ COD+∠ COF=AOC+COB=(∠ AOC+∠ COB)=× 180°= 90°,即∠ DOF= 90°.

OA= OCOD平分∠ AOC

ODACAD= DC.∴∠ CDO= 90°.

CFOF,∴∠ CFO= 90°.

∵∠ DOF= 90°,∠ CDO= 90°,∠ CFO= 90°,

∴四边形 CDOF是矩形.

2、∵四边形 ABCD为平行四边形,

ABDC.∴∠ ABE=∠ ECF.

又∵ EBC的中点,∴ BE= CE.

在△ ABE和△ FCE中,

∵∠ ABE=∠ ECFBE= CE,∠ AEB=∠ FEC

∴以△ ABE≌△ FCEASA).

BE= ECAE= EF.

∴四边形 ABFC为平行四边形.

又∵∠ AEC= 2ABC,且∠ AEC为△ ABE的外角,

∴∠ AEC=∠ ABC+∠ EAB.

∴∠ ABC=∠ EAB.AE= BE.

AE+ EF= BE+ EC,即 AF= BC.

∴四边形 ABFC为矩形.