知识点睛:
矩形工厂中有三条生产线,它们可以将四边形生产成为矩形,这三条生产线分别是:( 1)有三个角是直角的四边形是矩形;( 2)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;( 3)对角线相等的平行四边形是矩形.
下面让我们去看一看它们是如何具体操作的吧
解题指导:
生产线一:利用三个角是直角的四边形是矩形.
基本思路:“四边形”+“四角相等”=“矩形”
例 1、( 2012年青海省西宁市中考试题)如图 1,在菱形 ABCD中, AB= AC, E、 F分别是 BC、 AD的中点,连接 AE、 CF.求证:四边形 AECF是矩形.

证明:∵四边形 ABCD是菱形,∴ AB= BC.
∵ AB= AC,∴△ ABC是等边三角形.
∵点 E是 BC的中点,∴ AE⊥ BC.
∴∠ AEC= 90°.同理∠ AFC= 90°.
∵ AD∥ BC,∴∠ FCE=∠ AFC= 90°.
∴四边形 AECF是矩形.
生产线二:利用有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
基本思路:“平行四边形”+“一个角是直角”=“矩形”
例 2、( 2012年吉林省中考试题)如图 2,在△ ABC中, AB= AC, D为 BC边上一点,以 AB、 BD为邻边作□ ABDE,连接 AD、 EC.若 BD= CD.求证:四边形 ADCE是矩形.

证明:∵四边形 ABDE是平行四边形,
∴ BD∥ AE, BD= AE.所以 AE∥ CD.
∵ BD= CD,∴ AE= CD.
∴四边形 ADCE是平行四边形,
在△ ABC中, AB= AC, BD= CD,
∴ AD⊥ BC.∴∠ ADC= 90°.
∴□ ADCE是矩形.
生产线三:利用对角线相等的平行四边形是矩形
基本思路:“平行四边形”+“两条对角线相等”=“矩形”
例 3、( 2012年青海省中考试题)如图 3, D是△ ABC的边 AB上一点, CN∥ AB, DN交 AC于点 M, MA= MC.
( 1)求证: CD= AN;
( 2)若∠ AMD= 2∠ MCD,求证:四边形 ADCN是矩形.

证明:( 1)因为 CN∥ AB,
∴∠ DAC=∠ NCA,
在△ AMD和△ CMN中,
∵
,
∴△ AMD≌△ CMN.∴ AD= CN.
∵ AD∥ CN,
∴四边形 ADCN是平行四边形,
∴ CD= AN.
( 2)∵∠ AMD= 2∠ MCD,∠ AMD=∠ MCD+∠ MDC,
∴∠ MCD=∠ MDC.∴ MD= MC.
由( 1)知四边形 ADCN是平行四边形,
∴ MD= MN= MA= MC.
∴ AC= DN.∴四边形 ADCN是矩形.
自我测试:
1、( 2012内蒙古赤峰中考试题)如图 4,点 O是线段 AB上的一点, OA= OC, OD平分∠ AOC交 AC于点 D, OF平分∠ COB, CF⊥ OF于点 F.求证:四边形 CDOF是矩形.

2、( 2012六盘水中考试题)如图 5,已知 E是□ ABCD中 BC边的中点,连接 AE并延长 AE交 DC的延长线于点 F.连接 AC、 BF,若∠ AEC= 2∠ ABC,求证:四边形 ABFC为矩形.

参考答案:
1、∵ OD平分∠ AOC, OF平分∠ COB,
∴∠ COD=
∠ AOC,∠ COF=
∠ COB.
∴∠ COD+∠ COF=
∠ AOC+
∠ COB=
(∠ AOC+∠ COB)=
× 180°= 90°,即∠ DOF= 90°.
∵ OA= OC, OD平分∠ AOC,
∴ OD⊥ AC, AD= DC.∴∠ CDO= 90°.
∵ CF⊥ OF,∴∠ CFO= 90°.
∵∠ DOF= 90°,∠ CDO= 90°,∠ CFO= 90°,
∴四边形 CDOF是矩形.
2、∵四边形 ABCD为平行四边形,
∴ AB∥ DC.∴∠ ABE=∠ ECF.
又∵ E为 BC的中点,∴ BE= CE.
在△ ABE和△ FCE中,
∵∠ ABE=∠ ECF, BE= CE,∠ AEB=∠ FEC,
∴以△ ABE≌△ FCE( ASA).
∴ BE= EC, AE= EF.
∴四边形 ABFC为平行四边形.
又∵∠ AEC= 2∠ ABC,且∠ AEC为△ ABE的外角,
∴∠ AEC=∠ ABC+∠ EAB.
∴∠ ABC=∠ EAB.∴ AE= BE.
∴ AE+ EF= BE+ EC,即 AF= BC.
∴四边形 ABFC为矩形.