三解答题
17．（本小题满分 10分）
已知
是
的三个内角，若向量
，
，且
。
（ 1）求证：
；（ 2）求
的最大值。
解：（ 1）证明：由已知得
,…… 1分
即
,
故
,
整理得
,…… 3分
即
…… 4分
（ 2）解：
=
…… 6分
故
…… 10分
18．（本小题满分 12分）
已知定义域为
的函数
是奇函数．
（ 1）求
的值；
（ 2）若对任意的
，不等式
恒成立，求
的取值范围
【解析】（ 1）因为
是奇函数，所以
，即
…… 2分
又由
知
综上所述，
…… 4分
（ 2）由（ 1）知
，
易知在上为减函数．…… 6分
又因是奇函数，从而有不等式：
等价于
，…… 8分
因为减函数，由上式推得：
．
即对一切有：
，
从而判别式
…… 12分
19．（本小题满分 12分）
等比数列{
}的前
项和为
，已知对任意的
，点
均在函数
且
均为常数)的图像上
（ 1）求
的值；
（ 2）当
时，记
，求数列
的前项和
.
【解析】（ 1）因为对任意的,点均在函数且均为常数)的图像上所以得
…… 2分
当
时,
,
当
时,
,…… 4分
又因为{}为等比数列,所以
,公比为
,所以
…… 6分
（ 2）当时，
,
,
则
两式相减,得
=
所以
…… 12分
20．（本小题满分 12分）
设平面直角坐标系
中，设二次函数
的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为
．求：
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）求圆的方程；
（Ⅲ）问圆是否经过某定点（其坐标与 b无关）？请证明你的结论．
【解析】（Ⅰ）令
＝ 0，得抛物线与
轴交点是
；
令
，由题意
且Δ＞ 0，
解得
且．…… 2分
（Ⅱ）设所求圆的一般方程为
，
令＝ 0得
，这与
＝ 0是同一个方程，故
令＝ 0得
，此方程有一个根为，代入得出
所以圆的方程为
…… 6分
（Ⅲ）圆必过定点
和
．
证明：法一：将代入圆的方程，得左边＝
右边＝
，
所以圆必过定点．
同理可证圆必过定点．…… 12分
法二：圆的方程为可化为
令
解得
或
所以圆必过定点和．…… 12分
21．（本小题满分 12分）
已知
，解不等式
【解析】原不等式可化为
①
（ 1）当
时，原不等式为
…… 2分
（ 2）当
时，原不等式化为
②…… 4分
当
时，原不等式等价于
，由于
，可解得
;
…… 8分
当
时，原不等式等价于
，
由于
，可解得
或
…… 10分
综上，当时原不等式的解集为
；
当时，解集为
；
当时，解集为
…… 12分
22．（本小题满分 12分）
已知函数
在
上是增函数，在
上是减函数．
（ 1）求函数
的解析式；
（ 2）若
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
（ 3）是否存在实数，使得方程
在区间
上恰有两个相异实数根，若存在，求出的范围，若不存在说明理由．
【解析】 ⑴
依题意得
，所以
，
从而
．…… 4分
⑵ 
，
令
，得
或
（舍去），
因为在
递减，在
递增，且
，
所以
……… 8分
⑶设
，
即
，
．
又
，
令
，得
；令
，得
．
所以函数
的增区间为
，减区间为
．
要使方程有两个相异实根，则有
，
解得
．…… 12分
