知识点睛：
勾股定理是中学数学的一个重要定理，至今为止有 500多种证明勾股定理的方法，其中有很多方法是用面积作为桥梁证明的，如图 1所示的图形就是其中的一个，我们称其为“勾股树”.以“勾股树”为背景的问题比比皆是，下面举例加以解析．
如图 1，在△ ABC中，∠ ACB= 90°，分别以 AC、 BC、 AB为边向外作正方形，因为 S 1= AB 2， S 2= BC 2， S 3= AC 2，且 AB 2= BC 2+ AC 2，所以可得 S 1= S 2+ S 3下面看看此图的变形与应用
解题指导：
一、不断的生长
例 1、如图 2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形 A、 B、 C、 D的边长分别是 3、 5、 2、 3，则最大正方形 E的面积是（）.
（ A） 13
（ B） 26
（ C） 47
（ D） 94
解析：本题中的大勾股数是由三个图 1中的小勾股数组成，则由勾股定理可知，正方形 F的面积是正方形 A、 B的和；正方形 G的面积是正方形 C、 D的面积和；正方形 E的面积是正方形 F、 G的面积和，所以最大正方形 E的面积是正方形 A、 B、 C、 D的面积和，即最大正方形 E的面积是 13.
故选 A.
二、方枝变圆枝
例 2、如图 3，已知在
中，
，
，分别以
、
为直径作半圆，面积分别记为 S 1、 S 2，则 S 1+ S 2的值等于________．
解析：本题只是把枝头的正方形换成了半圆，同样由勾股定理，得 AC 2+ BC 2= AB 2= 4 2= 16.
因为 S 1=
π AC 2， S 2=π BC 2， S 1+ S 2=
π（ BC 2+ AC 2）= 2π.
故填 2π.
三、方枝变三角
例 3、如图 4，以 Rt△ ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边 AB=
，则图中阴影部分的面积为 ．
解析：因为阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，所以根据勾股定理可知每个等腰直角三角形斜边的平方是直角边平方的 2倍，而面积是直角边平方的
，所以直接求出 3个等腰直角三角形的斜边的平方的和即可求出阴影部分的面积.
因为在△ AHC中，∠ H= 90°， AH= HC，
所以 AH 2+ HC 2= AC 2，即 HC 2= AC 2.
同理 HC 2= AC 2、 CF 2= BC 2、 BE 2= AB 2.
又因为在 Rt△ ABC中， AC 2+ BC 2= AB 2= 5，
所以图中阴影部分的面积为（ HC 2+ CF 2+ BE 2）=
（ AC 2+ BC 2+ AB 2）=
.
自我检测：
如图是一个“羊头型”的图案，其作法是：从正方形 1开始以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形 2，依次类推．若正方形 1的边长是 64厘米，则正方形 7的面积是多少？
参考答案：
本题实际是探索分别以等腰直角三角形三边为边的正方形面积之间的关系，根据正方形的面积公式及勾股定理，易得以斜边为边的正方形的面积等于以直角边为边的两个正方形的面积之和
所以 2 S 2= S 1， 2 S 3= S 2， 2 S 4= S 3，…， 2 S 7= S 6.
所以 S 1= 2 6 S 7， S 7=
= 2 6．
