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走出一次函数常见的误区

一、自变量问题

一次函数的自变量在通常情况下是取任意实数的,但是当函数的关系式具有实际意义时,一次函数的自变量在取值时就要使关系式有意义才行.

1、火车提速后的“动力组”的平均速度达到 200 km/ h,那么它行驶的路程 s与时间 t之间是什么样的函数关系?自变量的取值范围又是怎样的呢?

错解:由于平均速度是 200 km/ hs随着 t的增大而增大,所以 st之间是正比例函数关系,其中 t是自变量,它的取值范围是任意实数.

错解分析:自变量的取值除了使函数关系式有意义之外,还应该具有实际意义才行,由于时间 t不能为负,所以自变量 t的取值范围应该是非负数,即 t0

正解:正比例函数关系,自变量 t的取值范围应该是非负数,即 t0

二、函数类型的判定

一次函数的一般形式是 y= kx+ b( k0),正比例函数的一般形式是 y= kx( k0),正比例函数是一次函数,但是一次函数不一定是正比例函数.

2、梯形的上底是 4,下底是 a,高是 6,那么面积 s与下底 a是什么关系?

错解:因为梯形的面积 s=(上底+下底)×高,即 s=4+ a× 6= 34+ a). s随着 a的增加而增加,所以面积 s与下底 a是正比例函数关系.

错解分析:错解的原因在于对一次函数与正比例函数的概念分不清楚,只是根据 s随着 a的增加而增加,而判断其是正比例函数,在判断一个函数是什么类型时,要将其关系式化成一般形式.将 s= 34+ a)展开答案就很明显了.

正解: s=4+ a× 6= 34+ a)= 3 a+ 12k= 3b= 12,所以是一次函数关系.

3、三个变量 xyz,其中 yx的正比例函数, zy的正比例函数,请问 zx的什么函数?

错解:因为 yx的正比例函数,所以 y= kx( k是常数,且 k0);

又因为 zy的正比例函数,所以 z= ky,所以 z= ky= k× kx= k 2 x

又因为 k是常数,且 k0,所以 k 2也是个常数.

所以 zx的正比例函数.

错解分析:虽然结果都是 zx的正比例函数,但是在解题的过程中,由于对正比例函数掌握的不好,所以出错.因为, yx的正比例函数, zy的正比例函数,但是两个函数中的比例系数 k的值是不同的,所以应区别对待.

正解:因为 yx的正比例函数,所以 y= k 1 x( k 1是常数,且 k 10);

又因为 zy的正比例函数,所以 z= k 2 y,( k 2是常数,且 k 20);

所以 z= k 2 y= k 1× k 2 x= k 1 k 2 x

又因为 k 1k 2是常数,且 k 10k 20.所以 k 1 k 2也是个常数.

所以 zx的正比例函数.

三、一次函数图象类问题

熟练掌握一次函数图象的性质,结合一次函数的关系式,既要满足图形,又要满足关系式.

4、已知一次函数 y=( m+ 1) x+ m 2 -1的图象过原点,求 m的值.

错解:因为一次函数的图象过原点,所以 b= 0,即 m 2 -1= 0,所以 m= 1m= -1

错解分析:出错的原因是只考虑函数的图象问题,没有考虑关系式是否有意义.

正解:因为一次函数的图象过原点,所以 b= 0,且 k0

m 2 -1= 0m+ 10,所以 m= 1m= -1(舍).

所以一次函数 y=( m+ 1) x+ m 2 -1的图象过原点时 m= 1