根据一元二次方程根与系数的关系，我们可以发现：二次函数的图象是由系数决定的，当时，抛物线在轴上有两个交点，设抛物线在轴上两交点的坐标为、，且．则有：
1．二次项系数决定抛物线的开口方向．
即开口向上；开口向下．
2．抛物线的对称轴是．
抛物线的对称轴是轴；
(同号)抛物线的对称轴在轴的左侧；
(异号)抛物线的对称轴在轴的右侧．可简记为“左同右异”．
3．是抛物线与轴交点的纵坐标．
抛物线经过原点；
抛物线与轴交于正半轴；
抛物线与轴交于负半轴．
4．确定图象与轴是否相交．
抛物线与轴有两个交点；
抛物线与轴有一个交点；
抛物线与轴没有交点．
我们应用上述关系能简洁明快地解决根据的符号判定抛物线的位置；或者根据抛物线的位置判定的符号等问题．
一、由抛物线的位置确定的符号（或关系）
例 1.二次函数的图象如图 1所示，则下列关于间的关系判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
分析：由抛物线的开口向下，可知，由对称轴在轴左侧，可知，，可首先排除 A；由抛物线与轴交于负半轴，故，故，可排除 B；当时，抛物线在轴的下方，故当时，，可排除 C；当时，抛物线在轴的下方，故当时，，故应选 D．
例 2.已知二次函数的图象如图所示，则满足（ ）
分析：因为抛物线的开口向下，所以，对称轴在轴的左侧，所以，抛物线与轴的交点在轴的正半轴，所以．故应选 A．
例 3.己知二次函数的图象如图所示，
则下列结论：
（ 1）
（ 2）方程两根之和大于零
（ 3）随的增大而增大
（ 4）一次函数的图象一定不过第二象限，其中正确的个数是（ ）
A． 1个
B． 2个
C． 3个
D． 4个
分析：由抛物线的开口向上，得，再由对称轴在轴的右侧，得，由时，，得，由抛物线与轴交在负半轴上，得，又因为，所以也是正确的．
因为，，从而，所以方程两根之和大于零是正确的．因为，，所以一次函数的图象一定过第二象限，显然，随的增大而增大是错误的．故应选 B．
二、由系数符号判定抛物线的位置
例 4．已知，那么抛物线的顶点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
分析：由，知，又由，知，所以，所以抛物线的顶点在第一象限内，故选 A．
