例 2在△ ABC中，角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c，已知 a＋ b＝ 5， c＝，且
.
( 1)求角 C的大小；
( 2)求△ ABC的面积．
【解】( 1)∵
，
由，
得
，
∴
，
整理得
，解得
，
∵
，∴
.
( 2)由余弦定理得
，
即
，∴
，
由条件 a＋ b＝ 5，得 7＝ 25－ 3 ab， ab＝ 6，
∴
.
【方法点评】求三角形的面积一般利用公式
解答，注意灵活选用公式
例 3在△ ABC中，若
，试判断△ ABC的形状．
解： 由已知
，
所以
.
方法一 利用正弦定理边化角．
由正弦定理，得
，所以
，
即 sin Ccos C＝ sin Bcos B，即 sin 2 C＝ sin 2 B.
因为 B、 C均为△ ABC的内角，
所以 2 C＝ 2 B或 2 C＋ 2 B＝ 180°，
所以 B＝ C或 B＋ C＝ 90°，
所以△ ABC为等腰三角形或直角三角形．
方法二 由余弦定理，得
，
即
，
所以
，
即
，
所以
或
，
即 b＝ c或.
所以△ ABC为等腰三角形或直角三角形．
【点评】（ 1）判断三角形的形状，一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边；（ 2）
得到
或
，不要漏了；（ 3）在锐角三角形中一定有
.
例 4. 如图，甲船以每小时
海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于
处时，乙船位于甲船的北偏西
方向的
处，此时两船相距
海里，当甲船航行分钟到达
处时，乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处，此时两船相距
海里，问乙船每小时航行多少海里？
【解析】设乙船每小时航行 x海里，连接
易知
为等边三角形,从而得到
, 然后再
中
,由余弦定理可求出 B 1 B 2的值，然后再根据速度、时间与路程的关系可求出 x,问题得解.
设乙船每小时航行 x海里，连接
在中，
∴
在中，
由余弦定理得
∴
∴乙船每小时航行海里
【点评】（ 1）解三角形的应用题，一般先画图，把条件标记到图形中，然后转化成解三角形的数学问题来解；（ 2）解三角形的一般规律：必须知道三个几何元素，至少一个为边，对于不知道不知道的边或角可以放到其他三角形中求解.
