
例 2在△ ABC中,角 A、 B、 C的对边分别为 a、 b、 c,已知 a+ b= 5, c=,且
.
( 1)求角 C的大小;
( 2)求△ ABC的面积.
【解】( 1)∵
,
由
,
得
,
∴
,
整理得
,解得
,
∵
,∴
.
( 2)由余弦定理得
,
即
,∴
,
由条件 a+ b= 5,得 7= 25- 3 ab, ab= 6,
∴
.
【方法点评】求三角形的面积一般利用公式
解答,注意灵活选用公式

例 3在△ ABC中,若
,试判断△ ABC的形状.
解: 由已知
,
所以
.
方法一 利用正弦定理边化角.
由正弦定理,得
,所以
,
即 sin Ccos C= sin Bcos B,即 sin 2 C= sin 2 B.
因为 B、 C均为△ ABC的内角,
所以 2 C= 2 B或 2 C+ 2 B= 180°,
所以 B= C或 B+ C= 90°,
所以△ ABC为等腰三角形或直角三角形.
方法二 由余弦定理,得
,
即
,
所以
,
即
,
所以
或
,
即 b= c或
.
所以△ ABC为等腰三角形或直角三角形.
【点评】( 1)判断三角形的形状,一般利用正弦定理或余弦定理边化角或角化边;( 2)
得到
或
,不要漏了
;( 3)在锐角三角形中一定有
.

例 4. 如图,甲船以每小时
海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于
处时,乙船位于甲船的北偏西
方向的
处,此时两船相距
海里,当甲船航行
分钟到达
处时,乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处,此时两船相距
海里,问乙船每小时航行多少海里?

【解析】设乙船每小时航行 x海里,连接
易知
为等边三角形,从而得到
, 然后再
中
,由余弦定理可求出 B 1 B 2的值,然后再根据速度、时间与路程的关系可求出 x,问题得解.
设乙船每小时航行 x海里,连接
在
中,
∴
在
中,
由余弦定理得
∴
∴乙船每小时航行
海里
【点评】( 1)解三角形的应用题,一般先画图,把条件标记到图形中,然后转化成解三角形的数学问题来解;( 2)解三角形的一般规律:必须知道三个几何元素,至少一个为边,对于不知道不知道的边或角可以放到其他三角形中求解.