字词模式
句模式
段模式
系统设置
更多按钮
网址切换
保存状态
用户反馈
页面收藏
-AA+
2012年高考导数试题分类汇编(二)

3.利用导数研究函数极值和最值问题

1)考情分析:函数的最大值、最小值与极值问题是函数的重要内容,它对理解和掌握函数的变化规律、函数图象特征起着非常重要的作用,最大值、最小值是函数的整体性质,极值是函数的局部性质.近几年高考考查的问题有:求给定函数的最大值、最小值与极值问题;已知给定函数的最大值、最小值、极值,求函数中参数的取值范围问题.命题时常与函数的其他性质相结合.选择题、填空题一般为中低档难度,解答题多属于中高档题.

2)真题汇编

1:( 2012.陕西)设函数,则( ).

A的极大值点

B的极小值点

C的极大值点

D的极小值点

答案: D

解析:利用导数求解.

因为,所以

解得

时,为减函数;

时,为增函数.

所以的极小值点.

2:( 2012.重庆)已知函数在点处取得极值

1)求的值;

2)若有极大值,求上的最小值.

解析:( 1)因为,故

由于在点处取得极值

故有,即,解得

2)由( 1)知

,得

时,为增函数;

时,为减函数.

时,为增函数.

由此可知在点处取得极大值在点处取得极小值

由题设条件可知,解得

此时

因此上的最小值为

3:( 2012.江西)已知函数上单调递减且满足

1)求的取值范围;

2)设,求上的最大值和最小值.

解析:( 1)由,则,所以

依题意需对任意,有

时,因为二次函数的图像开口向上,而,所以需,即

时,对任意,有符合条件;

时,对任意,有符合条件;

时,因为不符合条件.

的取值范围为

2)因为,所以

①当时,处取得最小值,在处取得最大值

②当时,对任意,有处取得最大值,在处取得最小值

③当时,由

,即时,上单调递增,处取得最小值,在处取得最大值

,即时,处取得最大值,在处取得最小值.

则当时,处取得最小值;当时,处取得最小值

规律方法:利用导数研究函数极值的一般步骤是:①确定函数的定义域;②求函数的导数;③若求极值,则先求出方程的根,再检验在方程根左右值的符号,求出极值;当根中有参数时要注意分类讨论.

函数上的最大值和最小值的求解策略,可以利用函数在上的单调性来确定.若函数在区间上是单调的,则函数的最大值和最小值在端点处取得;若函数在区间上不是单调函数,则比较函数上的极值与区间端点处的函数值的大小,从而得出最值;对于含参数的函数的最大值和最小值问题,要通过分类讨论的方法讨论极值点是否在区间上,再利用单调性求最大值与最小值.一般步骤是:①求函数的极值;②比较函数上的极值与区间端点处的函数值的大小,其中最大的就是函数上的最大值,最小的就是函数上的最小值.

4.利用导数解决不等式恒成立问题

1)考情分析:含参数不等式恒成立问题是综合性较强的问题,解决这类问题要求学生具有较好的数学素养,较强的数学能力,能利用数学逻辑思维方法去分析问题、解决问题,并对基本的数学思想方法有较深刻的理解和认识,近年的综合题多是求参数的范围,且多以压轴题出现.

2)真题汇编

1:( 2012.辽宁)设,证明:

1)当时,

2)当时,

证明:( 1)证法一:记

则当时,

,所以有,即

证法二:当时,,故. ①

,则

,即. ②

由①②得,当时,

2)证法一:记

,则当时,,因此内是减函数.又由,得,所以

因此内是减函数.又,所以

于是当时,

证法二:记时,由( 1)得

因此内是减函数.又,所以