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“舞动”的抛物线

平移和对称是抛物线的两种基本变换,它揭示了不同的二次函数之间的联系.目前我们学习的平移主要是指沿着坐标轴上下、左右移动,对称主要是指关于坐标轴和原点的对称,下面分别举例说明.

一、平移

1、将抛物线先沿 x轴方向向右平移 3个单位,再沿轴方向向下平移 2个单位,所得抛物线的关系式为,则_ _ ,___.

分析:由于抛物线平移时,其形状、开口大小和方向都不变,因此其二次项系数不变.又抛物线的上下、左右平移可看作其顶点的平移,故只要将抛物线的关系式配成顶点式形式,再进行解答.

解:因为可化为,由于它是由抛物线先向右平移 3个单位,再向下平移 2个单位得到的,所以抛物线可看作由抛物线先向左平移 3个单位,再向上平移 2个单位得到的.所以抛物线的关系式为,即为,所以

二、对称

1.关于轴对称

2、求抛物线关于轴对称的抛物线的关系式.

分析:由于关于轴对称点的横坐标不变,纵坐标变为原来的相反数,所以两个关于轴对称的抛物线上对应点的坐标也满足这个关系.因此,只要将原抛物线关系式中的保持不变,变为它的相反数即可得到新抛物线的关系式.

解:因为两抛物线关于轴对称,所以将抛物线中的代换,则有,即.所以抛物线关于轴对称的抛物线的关系式为

2.关于轴对称

3、求抛物线关于轴对称的抛物线的关系式.

分析:由于关于轴对称点的纵坐标不变,横坐标变为原来的相反数,所以两个关于轴对称的抛物线上对应点的坐标也满足这个关系.因此,只要将原抛物线关系式中的保持不变,变为它的相反数即可得到新抛物线的关系式.

解:因为两抛物线关于轴对称,所以将抛物线中的代换,则有,即.所以抛物线关于轴对称的抛物线的关系式为

3.关于原点对称

4、已知抛物线与坐标轴的交点分别为 A( -4,0)、 B( -2,0)、 C( 0,8).求抛物线关于原点对称的抛物线的关系式.

分析:首先用待定系数法求出抛物线的关系式,再根据关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数,可知抛物线与抛物线上的对应点坐标都互为相反数,因此只要将抛物线关系式中都变为它的相反数即可得到抛物线的关系式.

解:设抛物线的关系式为,分别把 ABC三点坐标代入,

解得

所以的关系式为

将抛物线中的代换、代换得

故所求的抛物线的关系式为