三、解答题（共 6小题， 70分）
17．（ 10分）已知函数
（ 1）用分段函数的形式表示该函数；
（ 2）在坐标系中画出该函数的图像
（ 3）写出该函数的定义域，值域，奇偶性和单调区间（不要求证明）
【答案】（ 1）
；（ 2）图像见解析；
（ 3）定义域为 R,值域为（ 0，+∞），是偶函数，单调递减区间为
，单调递增区间为
【解析】因为
,然后分段画出其图像即可从图像上可直接观察到其定义域为 R，值域为,是非奇非偶函数，并且单调增区间为，单调减区间为
.
（ 1）函数表达式为：
（ 2）图像如图所示：
（ 3）该函数的定义域为 R,值域为（ 0，+∞），是偶函数，单调递减区间为，单调递增区间为
18．（ 12分）已知集合
（ 1）分别求出
;
（ 2）已知
，若
，求实数
的取值范围
【解析】( 1)先求出
,然后再根据补集的定义求出
和
,再根据并集的定义结合数轴可求出
.
( 2)因为且，则可得到
.
【解】( 1)∵， ∴
∵
（ 2）∵， ∴
.
19．（ 12分）已知函数
（ 1）试证明
在
上为增函数；
（ 2）当
时，求函数的最值
【解析】( 1)根据单调性定义第一步在在上任意取两个实数
，且
,第二步作差比较
,并且判定差值符号，第三步得出结论
（ 2）在（ 1）的基础上可知在区间上是增函数，因而可知当 x= 3时， f (x)最小，当 x= 5时， f (x)最大.
【解】（ 1）证明：在上任意取两个实数，且
∴
∵
∴
∴
即
∴在上为增函数；
（ 2）∵在上为增函数
在
处取得最小值
在
处取得最大值
20．（ 12分）设集合
（ 1）若
，求实数的值
（ 2）若
，求实数的取值范围
【解析】( 1)因为 A={ 1,2},并且,所以
,所以
,
从而求出 a的值，然后再一一验证是否满足.
( 2)因为,所以可得
,然后再讨论
和
两种情况，从方程的角度研究就是当时
无实数根;时，有一个实数根和有两个实根两种情况
【解】（ 1）有题可知：
∵ ∴
将 2带入集合 B中得：
解得：
当
时，集合
符合题意；
当
时，集合
，符合题意
综上所述：
21．（ 12分）若二次函数
满足
，且
（ 1）求的解析式；（ 2）若在区间
上，不等式
恒成立，求实数
的取值范围
【解析】( 1)先根据，得：
,然后再根据化简整理后可得
,从而可得 a= 1, b= -1.进而得到
.
( 2)原不等式可化简为
,即：
,
然后令
求其在工间[ -1,1]上的最小值即可.
【解】（ 1）有题可知：，解得：
由可知：
化简得：
所以：
∴
（ 2）不等式可化简为
即：
设
，则其对称轴为
，∴
在[ -1,1]上是单调递减函数.
因此只需的最小值大于零即可，∴
代入得：
解得：
所以实数的取值范围是：
22．（ 12分）已知函数
对于任意的
满足
.
（ 1）求
的值；
（ 2）求证：
为偶函数；
（ 3）若在
上是增函数，解不等式
【解析】( 1)根据
取值的任意性，可令
,可得
,所以
再令
,得
,所以
.
( 2)令
，得
, ∵
,∴
至此确定为偶函数；
( 3)由（ 2）函数是定义在非零实数集上的偶函数．
∴不等式可化为
,
从而进一步转化为
，解此不等式组即可
【解】（ 1）解：∵对于任意的满足
∴令
，得到：
令
，得到：
（ 2）证明：有题可知，令，得
∵ ∴
∴为偶函数；
（ 3）由（ 2）函数是定义在非零实数集上的偶函数．
∴不等式可化为
∴
即：
且
在坐标系内，如图函数
图象与
两直线．
由图可得
故不等式的解集为：.
