圆的弦长问题是圆的知识中的重要内容，我们先看一个大家比较熟悉的问题
问题： 已知直线：和圆：相交于、两点，求弦长.
分析：圆中弦长问题有两种思路，方法一：代数法；方法二：几何法，即利用半弦、半径、弦心距三边构成直角三角形满足勾股定理，即的求弦长显然第二种方法减少计算量，便于运算
解：方法 1：借助于韦达定理，运用弦长公式，这对将来要学习的其它二次曲线都适用
由方程组消去，得.
设，，即、为方程的两根，
∴，，
∴，
∴.
方法二： 已知圆的方程可化为，其中圆心为，半径.
设圆心到直线的距离为，则，
∴弦长.
思考方向：我们知道若圆和直线的方程确定，直线被圆所截的弦的长度也就确定了，那如果是知道了弦长和圆的方程，那么直线的方程确定么？如果知道了弦长和直线方程，那么圆的方程确定么？
【探究 1】一直线经过点被圆截得的弦长为 8，求此弦所在直线方程．
分析：由半弦、半径、弦心距三边构成直角三角形可知，弦长为 8，则可得弦心距.可设出直线方程，根据弦心距列方程求解，但在设直线方程时，要注意斜率是否存在的情况
解：( 1)当斜率不存在时，过点的直线方程为，代入，得.
∴弦长为，符合题意．
( 2)当斜率存在时，设所求直线方程为，即.
由已知，弦心距，∴，解得.
所以此直线方程为，即.
所以所求直线方程为或.
【探究 2】已知一直线的斜率为 1且被圆所截得的弦长为 8，求直线方程.
解：设直线方程为，由已知，弦心距，所以可得，截得，故直线方程为.
【探究 3】一直线经过点被圆截得的弦长为 8，求的范围
分析：由半弦、半径、弦心距三边构成直角三角形可知，欲使半径最大，则需使圆心到直线的距离最长；欲使半径最小，则需使圆心到直线的距离最短
解：圆心到直线的最短距离为 0，即直线过圆心，此时；
圆心到直线的最长距离为，即直线与直线垂直，此时；
所以.
思考方向：在以上问题中，圆被直线所截的弦的长度是定值，那如果弦长是在一个范围内变化时，问题又该如何变化呢？
【探究 4】已知直线：和圆：相交于、两点，且弦的长大于，求半径的范围
解：因为圆心和直线是确定的，变化的是圆的半径故圆心到直线的距离为定值.
若弦的长等于时，圆的半径为.
因为半弦、半径、弦心距三边构成直角三角形，现在弦心距已经确定，欲使弦长大于，只能增大圆的半径，故.
点评：解决圆中弦长问题关键是运用好知识点：“半弦、半径、弦心距三边构成直角三角形满足勾股定理，即”
