一、定义域问题和值域问题
例 1已知函数，
（ 1）定义域是 R，求的取值范围；
（ 2）值域是 R，求的取值范围．
【分析】在已知对数函数的定义域是 R与值域是 R，求其中参数的取值范围时，要注意它们是有明显区别的．
【解】（ 1）因为函数的定义域是 R，故而对任意有恒成立．
、时，左边=恒成立；
、时，由二次函数的性质可得
．
（ 2）因为函数的值域是 R，故而有
二、单调性问题
对于复合函数的单调性问题，要分两步进行：第一先考虑定义域；第二再考虑单调性，在这一步中，要注意复合函数的单调性的判定法则（同向为增，异向为减）．
例 2求函数单调区间．
【分析】先考虑定义域，由，即函数的定义域为；又由在上递减，上递在增，且．
【解】 由分析可得在上递增，上递减．
三 对称性问题和奇偶性问题
( 1)若函数在其定义域上满足，则函数的图象关于直线对称；
( 2)奇偶性问题的判定方法： 1、先特殊判定，后定义证明； 2、是对数函数的，先考虑真数，后证明结论．
例 3已知函数，讨论的奇偶性．
【分析一】 由题意易知函数的定义域为，当时，，当时，，据此可判定的奇偶性．
【分析二】 由，得，据此也可判定的奇偶性．
【解】 由题意易得函数的定义域为，
且，
即．所以函数是例 6．
例 4设是定义在 R上的奇函数，且满足，若时，，求在上的解析式．
【分析】 由定义在 R上且满足可知：函数的图象关于直线对称；又时，，所以时，=．
设，则，此时=．又是定义在 R上的奇函数，所以=，即在上的解析式为=-，．
例 5设是定义在[ -1， 1]上的偶函数，与的图象关于直线对称．且当时，，求函数的表达式．
【解】 注意到是定义在区间上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出在区间上的解析式，在区间上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求．
当时，，由于与的图象关于直线对称，所以
当时，，由为偶函数，可知
所以．
四 周期性问题
在函数的定义域内，存在非零常数 T，使得，则函数叫做周期函数， T叫做函数的一个周期．
推广若 T是函数的一个周期，则．
例 6已知奇函数满足，当时，，则
【分析】 设，则，由题意知，因为是奇函数，所以，．
设，则，从而．又函数满足，所以，．
由于，所以．
