在二次函数中，令 y= 0，则为一元二次方程
，若用数形结合的思想来理解，对二者之间联系的认识将更深刻．
1．抛物线与 x轴的交点的横坐标，就是相应一元二次方程的实数根．
2．用一元二次方程根的判别式判断抛物线与 x轴交点的个数：
△＞ 0二次函数图象与 x轴有两个交点；
△＞ 0二次函数图象与 x轴有一个交点；
△＞ 0二次函数图象与 x轴无交点．
3．弦长公式：如果抛物线的图象与 x轴有两个交点
由一元二次方程求根公式得，，
故这就是弦长公式，利用此公式可以解决许多有关抛物线的问题．
下面结合实例说明它们的广泛应用．
例 1．当 k为何值时，二次函数与 x轴有两个交点，一个交点，无交点．
解：＝９＋４（－ k＋２）＝１７－４ k，
△＝１７－４ k＞０，即当 k＜时，图象与 x轴有两个交点；当 k＝时，图象与 x轴有一个交点；当 k＜时，图象与 x轴无交点．
例 2．已知二次函数的图象和 x轴有交点，则 k的取值范围是（）
（ A） k＞（ B） k＞且 k≠ 0（ C） k≥（ D） k≥且 k≠ 0．
解：依题意，方程有实数解，△= 49+ 28 k≥ 0，∴ k≥，∵为二次函数，∴ k≥且 k≠ 0，故选（ D）．
例 3．已知抛物线与 x轴的两个交点在点（ 1， 0）两旁，试问：方程有无实数根．
解：因为抛物线与 x轴的两个交点在点（ 1,0）两旁，如图
∴当 x＜ 1时， y＜ 0，即 1+ 2 m+ m -7＜ 0，∴ m＜ 2，又
方程的判别式
，当 m＜ 2时，
2 m -4＜ 0，故方程无实数根．
例 4．抛物线与 x轴交于 A两点；＜ 0＜，与 y轴交于 C点，且满足，求此抛物线的解析式．
解：由于、是方程的两个实数根，∴+= -2 k -1，= 2 k+ 2，∵ x= 0时， y= k+ 1,∴点 C为（ 0， k+ 1），∴，
∵，∴，
∴，
，
，∵＜ 0， 2 k+ 2＜ 0,
∴ k= -2符合要求，∴抛物线的解析式为．
