二、常用的数学思想
1、分类思想.
分类讨论思想就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解决，最后予以总结作出结论的思想方法其实质是化整为零，各个击破的转化策略
例 6.如图 2，直线 l经过⊙ O的圆心 O，且与⊙ O交于 A、 B两点，点 C在⊙ O上，且∠ AOC＝ 30°，点 P是直线 l上的一个动点（与圆心 O不重合），直线 CP与⊙ O相交于点 Q.问：是否存在点 P，使得 QP＝ QO；______（用“存在”或“不存在”填空）.若存在，满足上述条件的点有几个？并求出相应的∠ OCP的大小；若不存在，请简要说明理由：______________.
【分析】依题意可以判断存在点 P，使得 QP＝ QO.可以分情况讨论解决
【解】①存在②符合条件的点 P共有 3个：当点 P在线段 AO上时，∠ OCP＝ 40°；
当点 P在 OB的延长线上时，∠ OCP＝ 20°；
当点 P在 OA的延长线上时，∠ OCP＝ 100°.
【说明】与圆有关的问题时常需要分类讨论，特别遇到动态的问题，更要多加留意
2、方程思想.
在求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的关系入手，找出相等关系，运用数学符号形成的语言将相等关系转化为方程（组），再通过解方程（组），使问题获得解决方程思想是中学数学中非常重要的数学思想方法之一
例 7.如图 3， AB是⊙ O的直径， BC是弦， OD⊥ BC于 E，交
于 D.
（ 1）请写出五个不同类型的正确结论；
（ 2）若 BC＝ 8， ED＝ 2，求⊙ O的半径.
【分析】（ 1）由题意，结合图形，答案不惟一，只要符合题意即可.（ 2）要求圆的半径，不妨由已知得到直角三角形，再运用勾股定理构造方程求解.
【解】（ 1）不同类型的正确结论有：① BC＝ CE；②
；③∠ BED＝ 90°；④∠ BOD＝∠ A；⑤ AC∥ OD，⑥ AC⊥ BC；⑦ OE 2+ BE 2＝ OB 2；⑧ S△ ABC＝ BC· OE；⑨△ BOD是等腰三角形；⑩△ BOE∽△ BAC；等.
（ 2）因为 OD⊥ BC，所以 BE＝ CE＝
BC＝ 4.设⊙ O的半径为 R，则 OE＝ OD－ DE＝ R－ 2.
在 Rt△ OEB中，由勾股定理，得 OE 2＋ BE 2＝ OB 2，即( R－ 2) 2+ 4 2＝ R 2.
解得 R＝ 5.即⊙ O的半径为 5.
【说明】本题中的第（ 2）的问的求解方法是处理此类题目的常见途径，同学们不妨多注意训练.
3、转化思想.
转化思想就是将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题来解决的一种思想方法。在学习过程中，遇到不熟悉的数学问题时要善于分析该问题的结构，通过“拼”、“拆”、“合”、“分”等方法，将之转化为熟悉问题来解决如，在研究有关梯形的问题时，常常需要添加适当的辅助线，将已知梯形转化为三角形、平行四边形以及其它特殊的平行四边形求解
例 8.如图 4， A， B两地之间有一座山，汽车原来从 A地到 B地须经 C地沿折线 A→ C→ B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线 AB行驶.已知 AC＝ 10 km，∠ A＝ 30°，∠ B＝ 45°，则隧道开通后，汽车从 A地到 B地比原来少走多少千米？（结果精确到 0.1 km）（参考数据：
，
）
【分析】已知图形是一个斜三角形，要求其解，可以通过作高线的方法，将其斜三角形转化成直角三角形，这样就便于运用锐角三角形函数的知识求解
【解】过点 C作 CD⊥ AB，垂足为 D.在 Rt△ CAD中，因为 AC＝ 10 km，∠ A＝ 30°，
所以 CD＝ AC＝ 5 km，即 AD＝ AC× cos 30°＝ 5
km.
在 Rt△ BCD中，因为∠ B＝ 45°，所以 BD＝ CD＝ 5 km，所以 BC＝
＝ 5
km.
所以 AB＝ AD+ BD＝( 5+ 5) km，
即 AC+ BC－ AB＝ 10+ 5－( 5+ 5)＝ 5+ 5－ 5≈ 5+ 5× 1.41－ 5× 1.73≈ 3.4
所以隧道开通后，汽车从 A地到 B地比原来少走约 3.4 km.
【说明】在解题时，常把有待解决或难以解决的问题通过某种转化手段，使它转化成已经解决和比较容易解决的问题，从而求得原问题的解答，这种转化思想不止用于解方程的换元，在解几何证明及解综合题也经常用到，本题就是最好地说明
4、整体思想.
整体思想是将问题看成一个完整的整体，把注意力和着眼点放在问题的整体结构和结构改造上，从整体上把握问题的内容和解题的方向和策略运用整体思想解题，能使不少复杂的问题简单化，抽象的问题具体化
例 9.已知 x+ y＝ 7且 xy＝ 12，则当 x＜ y时，
－
的值等于
【分析】要求－的值，若逐一求出 x与 y的值，当然是可以的，但不如对待求式进行通分，即可得到 y－ x和 xy，而由条件同时也可以求出 y－ x，这样就可以从整体上代入求解.
【解】因为 x+ y＝ 7， xy＝ 12，所以( x+ y) 2＝ 49，即( y－ x) 2+ 4 xy＝ 49，所以( y－ x) 2＝ 1，
因为 x＜ y，所以 y－ x＝ 1，
又因为－＝
，所以原式＝
.
【说明】通过对本题的求解过程，我们可以看出运用整体思想解题，便于看清问题本质，找出内在规律，优化解题过程，简化解题环节，使问题获得简捷、巧妙的解法
5、数形结合思想.
数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙、和谐地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化数形结合的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用图形来直观地说明性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的如，在进行有关图形的计算时，需要画出图形，充分发挥图形的优势，及时地从图形中捕捉解题有用的信息，都能找到解决问题方法
例 10.如图 5，已知与 x轴交于点 A( 1， 0)和 B( 5， 0)的抛物线 l 1的顶点为 C( 3， 4)，抛物线 l 2与 l 1关于 x轴对称，顶点为 C′.
（ 1）求抛物线 l 2的函数关系式；
（ 2）已知原点 O，定点 D( 0， 4)， l 2上的点 P与 l 1上的点 P′始终关于 x轴对称，则当点 P运动到何处时，以点 D， O， P， P′为顶点的四边形是平行四边形？
（ 3）在 l 2上是否存在点 M，使△ ABM是以 AB为斜边且一个角为 30°的直角三角形？若存在，求出点 M的坐标；若不存在，说明理由.
【分析】要求解这三个问题，可以在充分运用已知条件的基础上，及时从图象上捕捉求解的有用信息
【解】（ 1）由于抛物线 l 2与 l 1关于 x轴对称，所以顶点 C与 C′也是关于 x轴对称，所以易求得点 C′的坐标为( 3，－ 4).设 l 2的函数关系式为 y＝ a( x－ 3) 2－ 4，
又点 A( 1， 0)在抛物线 y＝ a( x－ 3) 2－ 4上，所以 a( 1－ 3) 2－ 4＝ 0，解得 a＝ 1.
抛物线 l 2的函数关系式为 y＝( x－ 3) 2－ 4，或 y＝ x 2－ 6 x+ 5.
（ 2） P与 P′始终关于 x轴对称，所以 PP′与 y轴平行.
设点 P的横坐标为 m，则其纵坐标为 m 2－ 6 m+ 5，所以 OD＝ 4，即 2| m 2－ 6 m+ 5|＝ 4，
即 m 2－ 6 m+ 5＝± 2，
当 m 2－ 6 m+ 5＝ 2时，解得 m＝
.
当 m 2－ 6 m+ 5＝－ 2时，解得 m＝
.
当点 P运动到(
， 2)或(
， 2)或(
，－ 2)或(
，－ 2)时，
P′ P∥ OD，且 P′ P＝ OD，以点 D， O， P， P′为顶点的四边形是平行四边形.
（ 3）满足条件的点 M不存在.理由如下：若存在满足条件的点 M在 l 2上，
则∠ AMB＝ 90°，
因为∠ BAM＝ 30°，或∠ ABM＝ 30°，所以 BM＝ AB＝× 4＝ 2.
过点 M作 ME⊥ AB于点 E，可得∠ BME＝∠ BAM＝ 30°.
所以 EB＝ BM＝× 2＝ 1， EM＝， OE＝ 4.即点 M的坐标为( 4，－)
但是，当 x＝ 4时， y＝ 4 2－ 6× 4+ 5＝－ 3≠－.
即不存在这样的点 M构成满足条件的直角三角形.
【说明】本题是一道综合型问题，求解时除了要能运用基础知识外，还要有一定的综合运用数学知识的能力
6、统计的思想.
统计思想就是利用统计对有限个对象（样本）的研究，去对大量对象（总体）的特征进行估计，主要是解决日常生活中较大数据群的评估问题随着信息技术的发展、数字化时代的到来，统计知识的应用越来越广泛，越来越重要统计的特点就是与数据打交道，运用数学知识解决实际问题，其过程是：从实际问题中获取必要的信息→分析处理有关信息→建立数学模型→解决这个数学问题；或是通过图表获取数据信息，收集、整理分析数据，再运用统计量的意义去分析，这都是用统计的思想方法解决问题的基本方式
例 11.2007年 5月 30日，在“六一国际儿童节”来临之际，某初级中学开展了向山区“希望小学”捐赠图书活动.全校 1200名学生每人都捐赠了一定数量的图书.如图 6，已知各年级人数比例分布扇形统计图图①所示.学校为了了解各年级捐赠情况，从各年级中随机抽查了部分学生，进行了捐赠情况的统计调查，绘制成图②的频数分布直方图根据以上信息解答下列问题：
（ 1）从图②中，我们可以看出人均捐赠图书最多的是_______年级；
（ 2）估计九年级共捐赠图书多少册?
（ 3）全校大约共捐赠图书多少册?
【解析】（ 1）从图②中，我们可以看出人均捐赠图书最多的是八年级.
（ 2）九年级的学生人数为 1200× 35％ 420(人)，估计九年级共捐赠图书为 420× 5= 2100(册).
（ 3）七年级的学生人数为 1200× 35％＝ 420(人)，估计七年级共捐赠图书为 420× 4.5＝ 1890(册)；
八年级的学生人数为 l 200 x× 30％＝ 360(人)，估计八年级共捐赠图书为 360× 6＝ 2160(册).
全校大约共捐赠图书为 1890+ 2160+ 2100＝ 6150(册).即估计九年级共捐赠图书 2100册，全校大约共捐赠图书 6150册.
【说明】统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学
综上所言，数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用
