数学思想方法是数学的“灵魂”，是分析问题、解决问题的“金钥匙”，是解决初中数学问题的基础和导向数学学习中要提高我们分析问题和解决问题的能力，形成用数学的意识解决问题，这些都离不开数学思想和数学方法现就解决九年级的数学问题时常用的数学思想方法作个归纳，或许会对同学们有所帮助
一、常用的数学方法
1、配方法.
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方有时也将其称为“凑配法”最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
；
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
；
；…等等
例 1.将
化成
的形式为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【分析】先将化成一般形式，再运用配方的方法即得
【解】因为
，所以应选 C.
【说明】配方的关键是要加上一次项系数一半的平方，同时还要减去一次项系数一半的平方，特别要注意避免符号及运算带来的错误
2、换元法.
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理换元法又称辅助元素法、变量代换法通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在研究化简求值、方程、不等式、函数等问题中有广泛的应用换元的方法有：局部换元、均值换元等其中局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现；均值换元，如遇到
形式时，设
，
等等不管怎样，我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大
例 2.解方程：
.
【分析】给定是一个分式方程，首先应使其转化为整式方程，由于两个分式的结构相似，所以可以利用换元求解
【解】设
，于是
所以原方程转化为
.
解这个整式方程，得
.
所以当
时，有
，解这个方程，得
，
当
时，有
，解这个方程，得
.
经检验，是原方程的根
【说明】解分式方程千万不能忽视检验
3、待定系数法.
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解使用待定系数法，它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决
例 3.如图 1，一次函数
的图象与反比例函数
的图象交于 A(－ 2， 1)， B( 1， n)两点.
（ 1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式；
（ 2）求△ AOB的面积.
【分析】由于点 A和 B既在一次函数图象上，又在反比例函数的图象上，所以可以先利用待定系数法求出 m，进而求出 n，这样再运用待定系数法构造关于 k和 b的二元一次方程组即可求解.至于要求△ AOB的面积，令直线与 y轴的交点为 C，也容易求出点 C有坐标，这样△ AOB的面积即由△ AOC和△ BOC组成.
【解】（ 1）因为点 A(－ 2， 1)在反比例函数的图象上，所以 m＝(－ 2)× 1＝－ 2.
所以反比例函数的表达式为
因为点 B( 1， n)也在反比例函数的图象上，
所以 n＝－ 2，即 B( 1，－ 2).
把点 A(－ 2， 1)，点 B( 1，－ 2)代入一次函数中，
得
解得
一次函数的表达式为
.
（ 2）在中，当
时，得
.
直线与 x轴的交点为 C(－ 1， 0).
因为线段 OC将△ AOB分成△ AOC和△ BOC，
所以
.
【说明】确定正比例函数的解析式，只要一个条件，而要求一次函数的解析式，则需要两个独立的条件
4.定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念定义是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象用定义法解题，是最直接的方法
例 4.已知是关于 x的方程
的一个根，则
＝_______
【分析】由于是关于
的方程的一个根，所以要求方程的字母系数，只需利用根的定义，让根回归方程即可得到的一元二次方程，从而可以求解
【解】因为是关于的方程的一个根，
所以有
，即
.
解这个一元二次方程，得
.
【说明】求解有关含有字母系数的一元二次方程的问题时一定要注意求得的字母必须保证：一是使原方程有实数根，二是原方程的二次项系数是否可以为 0.虽然本题中并没有出现这两类问题，但以后一定会遇到的
5.反证法
与前面所讲的数学解题方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得法国数学家阿达玛 (Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”应用反证法证明的主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立
实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立
例 5.求证：如果 a 1， a 2， a 3， a 4， a 5都是正数，且 a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5＝ 1，那么这五个数中至少有一个大于或等于
.
【分析】要证明这五个数中至少有一个大于或等于，假如这五个数中没有一个大于或等于，即都小于，从而可以得到这五个数的和 a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5小于 1，这样就出现了与已知条件相矛盾，出现这个矛盾的式子的原因是由于刚才的假设，于是问题获证.
【证明】假设这五个数中没有一个大于或等于，即都小于，
那么这五个数的和 a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5小于 1.
这与已知这五个数的和 a 1+ a 2+ a 3+ a 4+ a 5＝ 1相矛盾.
因此，这五个数中至少有一个大于或等于.
【说明】对于反证法的第二步，可以推理导出与定义矛盾，或定理矛盾，或公理矛盾，或已知条件矛盾等等
