代数式在整个中学数学中地位举足轻重，是学习中学数学中方程、函数、不等式的知识基础;不仅如此，利用代数式的知识还可以帮助我们解决一些找规律的问题。比如由代数式求值推断代数式所反映的规律． n： 1 2 3 4 5 6
5 n＋ 6：
2 n＋ 1：
4 n－ 3：
观察上述 3个代数式，当 n取不同的值时，代数式也会有相应的变化．对于 5 n＋ 6来说， n每增加 1，代数式的值相应增加 5；而对于 2 n＋ 1， n每增加 1， 2 n＋ 1的值相应增加 ANOAHDIGITAL 10；同样，代数式 ANOAHDIGITAL 11 n－ ANOAHDIGITAL 12中的 n每增加 ANOAHDIGITAL 13，代数式的值增加 ANOAHDIGITAL 14．因此，对于此类代数式来说，字母指数为 ANOAHDIGITAL 15，字母前的数是几，那么当字母代表的数增加 ANOAHDIGITAL 16，整个代数式的值相应就增加几．如： ANOAHDIGITAL 17 n－ ANOAHDIGITAL 18： n每增加 ANOAHDIGITAL 19，代数式值增加 ANOAHDIGITAL 20．而
x－ 1： x每增加 1，代数式值就相应增加．同样，若有
这样一列数，相邻两数相差 2，可以说，座号每增加 1，代数式值就增加 2，所以第 n个数肯定是 2 n＋ b( b是一个常数)，在此 b＝－ 1，即代数式是 2 n－ 1．
由此可以看出，代数式的知识，列代数式及求代数式的值都可以反映出一些数学题或生活实际问题的的规律。下面就解决这类问题看以下代数式是如何帮我们找规律的。
一、数列型规律问题
例 1、观察下面一列数： -1， 2， -3， 4， -5， 6， -7，．．．，将这列数排成下列形式.
-1
2 -3 4
-5 6 -7 8 -9
10 -11 12 -13 14 -15 16
… … …
按照上述规律排下去，那么第 10行从左边第 9个数是_________________________.
【分析】：观察问题题干我们会发现这些数的绝对值是正整数数列，当其为奇数时符号是负；并能进一步发现数列排列规律是：第一行一个数，第二行三个数，第三行五个数，……，这样我们可以列出合适的代数式表示第 n行有（ 2 n -1）个数进行排列。然后利用所列的代数式得知当 n为 9时，第 9行排列有 17个数，即 9行共排列 1+ 3+ 5+…+ 17= 81个数。因此第十行左边第一个数应为 82，这样得到第 10行左边第 9个数是 90。
相信从这个问题的分析中，你已经体会到列出合适的代数式，并进一步求出代数式的值能帮助我们解决数列型找规律的问题。
【练习 1】：观察下列顺序排列的等式：
猜想：第 n个等式（ n为正整数）应为___________________.
【答案】： 9×( n－ 1)+ n＝ 10( n－ 1)+ 1.
【练习 2】：德国著名数学家高斯是在上小学的时候，有一次数学老师出了个题目 1+ 2+…+ 100=？由于看出 1+ 100= 101， 2+ 99= 101，… ,50+ 51= 101共 50个 ANOAHDIGITAL 10，因而高斯立刻答出了 ANOAHDIGITAL 11的结果，此举令老师称赞不已。这一切都归功于高斯对数学的痴迷以及加上勤奋的学习。请你利用高斯的方法计算 1+ 2+…+ 100＋…＋（ n－ 1）＋ n=？
【答案】： 
二、图形型规律问题
例 2、如图，摆搭 1个正方形需火柴棒 4根， 2个正方形需火柴棒 7根， 3个正方形需火柴棒 10根，那么 x个这样的正方形需要火柴棒根数是.
… … … …
【分析】： 1个正方形需 4根， 2个正方形需 7根， 3个正方形需 10根，从这三个图形中结合正方形个数及火柴棒的根数，我们会得出这样的规律：在 4根火柴棒的基础上，每增加 1个正方形，火柴棒增加 3根，这样很容易列出代数式[ 4+ ANOAHDIGITAL 10( x ANOAHDIGITAL 11)]表示第 x个这样的正方形需要火柴棒根数；此问题也可以从图形出发观察横放的火柴棒第 ANOAHDIGITAL 12、 ANOAHDIGITAL 13行各有 x根，竖直放置的火柴棒有( x+ ANOAHDIGITAL 14)根，因此第 x个这样的正方形需要火柴棒根数可以用代数式[ x+ x+( x+ ANOAHDIGITAL 15)]根表示；也可以理解为( ANOAHDIGITAL 16+ ANOAHDIGITAL 17 x)根等，方法很多同学们可以继续寻找。但无论你用怎样的方法解决此图形问题，最终都需要列出代数式来表示，从此更进一步说明代数式在帮我们寻找规律是起着举足轻重的作用
【练习 1】：学生李军在一次数学活动课中，将一圆形纸板，经过多次剪裁，把它剪裁成若干个扇形.操作要求：第 1次剪裁，将圆形纸板等分成 4个扇形；第 2次剪裁，将上次得到的扇形中的一个再等分成 4个扇形；以后按第 2次剪裁的做法进行下去.请你结合他的剪裁过程填表： 10、 31
… … … … … … …
【答案】： 10； 31； 3 n+ 1.
【练习 2】：下面的图形是由边长为 l的正方形按照某种规律排列而组成的．
( 1)观察图形，填写下表：
图形
①
②
③
正方形的个数
8
图形的周长
18
( 2)推测第 n个图形中，正方形的个数为________，周长为_______(都用含 n的代数式表示)．
【答案】：( 1) 13， 28； 18， 38；( 2) 8＋ 5（ n－ 1）； 10 n＋ ANOAHDIGITAL 10.
三、生活型规律问题
例 3、如图是 2005年 8月份的日历，如图那样，用一个圈竖着圈住 3个数，如果被圈的三个数的和为 39，则这三个数中最大的一个为.
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
【分析】：生活中处处有数学，日历中也存在着规律如同一行中左右相邻两数差为 1；同列中上下相邻两数差为 7等。如上图中所圈住 3个数在同一列中，我们可以设中间一个是 x，则上面一个数是（ x－ 1）、下面一个数是（ x＋ 1），因此这三个数的和就能列出代数式 x＋（ x－ 1）＋（ x＋ 1），这样就可以进一步求解了！
【练习 1】：如图是 2005年 9月份的日历，现用一矩形在日历中任意框出 4个数
，请用一个等式表示 a、 b、 c、 d之间的关系：____________．
【答案】： a＋ d＝ b＋ c.
【练习 2】:一串有黑有白，其排列有一定规律的宝石项链，被盒子遮住一部分（如图），则这串珠子被盒子遮住的部分有___颗.
答案:综合利用图形特征，找出规律每隔 1， 2， 3， 4， 5…颗黑珠子有 1颗白珠子，循此规律被盒子遮住部分开始有 5颗黑珠最后有 8颗黑珠子，简单计算共有 5+ 1+ ANOAHDIGITAL 10+ ANOAHDIGITAL 11+ ANOAHDIGITAL 12+ ANOAHDIGITAL 13+ ANOAHDIGITAL 14= ANOAHDIGITAL 15颗黑珠子.
四、科技文化型规律题
例 4、在某地，人们发现某种蟋蟀叫的次数与温度之间有如下的近似关系：用蟋蟀 1分叫的次数除以 7,然后再加上 3,就近似地得到该地当时的温度（℃）.
( 1)用代数式表示该地当时的温度；
( 2)当蟋蟀 1分叫的次数分别是 80， 100和 120时，该地当时的温度约是多少？
【分析】：此题中的关系很明显，易用 c表示蟋蟀 1分叫的次数，则该地当时的温度就可列出代数式为：
＋ 3；
( 2）把 c= 80,100和 120分别代入代数式，求得当蟋蟀 1分叫的次数分别是 80， 100和 120时，该地当时的温度大约分别是 14℃ ,17℃ ,20℃.
【练习 1】：下面是用棋子写成的“上”字：
第一个“上”字 第二个“上”字 第三个“上”字
如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现：
（ 1）第四、第五个“上”字分别需用和枚棋子；
（ 2）第 n个“上”字需用枚棋子．
【练习 2】：下图是某同学在沙滩上用石于摆成的小房子．
观察图形的变化规律，写出第 n个小房子用了块石子.
