高考真题再现
（ 2012年高考（广东理））设数列
的前
项和为
,满足
,
,且
、
、
成等差数列
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数,有
.
【解析】(Ⅰ)由
,解得
(Ⅱ)由可得
(
),两式相减,可得
,即
,即
,所以数列
()是一个以
为首项 ,3为公比的等比数列.由
可得,
,所以
,即
(),当
时,,也满足该式子,所以数列的通项公式是
(Ⅲ)因为
,所以
,所以
,于是
点评:上述证法实质上是证明了一个加强命题
,该加强命题的思考过程如下
考虑构造一个公比为
的等比数列
,其前项和为
,希望能得到
,考虑到
,所以令
即可由
的通项公式的形式可大胆尝试令
,则
,于是
,此时只需证明
就可以了
当然,的选取并不唯一,也可令
,此时
,
,与选取不同的地方在于,当时,
,当时,
,所以此时我们不能从第一项就开始放缩,应该保留前几项,之后的再放缩,下面给出其证法
当时,
;当
时,
;当
时,
当
时,,所以
综上所述,命题获证
下面再给出的两个证法
法 1:(数学归纳法)
①当时,左边
,右边
,命题成立
②假设当
(
,
)时成立,即
成立为了证明当
时命题也成立,我们首先证明不等式:
(
,
)
要证,只需证
,只需证
,只需证
,只需证
,该式子明显成立,所以
于是当时,
,所以命题在时也成立
综合①②,由数学归纳法可得,对一切正整数,有
备注:不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的,其实这是一个错误的认识
法 2:(裂项相消法)
当时,显然成立当时,显然成立
当
时,
,又因为
,所以
(),所以
(),所以
综上所述,命题获证
【方法再总结】
求数列的通项公式，常见的有六种类型：
（ 1）已知数列的前几项，求其通项公式.
常用方法：观察分析法、逐差法、待定系数法、特殊数列法、转化法、归纳递推法等
根据数列前几项，观察规律，归纳出数列通项公式是一项重要能力
（ 2）已知数列前 n项和
，或前 n项和与
的关系求通项
利用
虽然已知求时，方法千差万别，但已知求时，方法却相对固定
（ 3）已知递推公式求通项公式，对这类问题要求不高，主要掌握“先猜后证”“化归法”“累加法”等.
（ 4）对于
型，求，其关键是确定待定系数
，使
（ 5）对于
型，求，可用
的方法
（ 6）对于
型，求，可用
的方法
