为了开阔同学们的视野，特就一些平行四边形典型问题分类选解几例，希望同学们从中得到启示．

1、证明线段垂直

例 1、已知：如图，在平行四边形 ABCD中， AB= 2 BC， M为 AB的中点，

求证： CM⊥ DM．

分析：根据平行四边形的性质，不仅对角相等，而且相邻角的角也互补，这就为证明垂直提供了充分的条件．又有已知中 AB= 2 BC和 M为 AB的中点，可以得到相等的角．其中有内错角相等，也有等边对等角性质的应用，使∠ CDM＋∠ DCM=，可使问题得到解决．

证明：在平行四边形 ABCD中， AB∥ CD， AD= BC，

∴∠ AMD=∠ CDM，∠ BMC=∠ DCM，

∵ AB= 2 BC， M是 AB的中点，

∴ AD= AM= BM= BC．

∴∠ ADM=∠ AMD，∠ BMC=∠ BC M

∴∠ ADM=∠ CDM，∠ BC M=∠ DCM，

∴∠ CDM=∠ ADC，∠ DCM=∠ BCD．

又∠ ADC＋∠ BCD=，

∴∠ CDM＋∠ DCM=，即∠ DMC=．

∴ CM⊥ DM．

评析：本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质，证明了 CM、 DM所在的三角形两锐角互余，由三角形内角和定理得出∠ DMC=，从而得到结论．这是证明两线段互相垂直的常用方法．

2、证明线段平行

例 2、如图， AB、 CD交于点 O， AC∥ DB， AO= BO， E、 F分别为 OC、 OD的中点，连结 AF、 BE．

求证： AF∥ BE．

分析：从已知条件可证△ AOC≌△ BOD，得到 OC= OD，又有 E、 F为 OC、 OD中点，则 OE= OF，判定四边形 AFBE为平行四边形，即有 AF∥ BE．

证明：连结 BF、 AE，∵ AC∥ DB，∴∠ C=∠ D．

在△ AOC和△ BOD中，有

∴△ AOC≌△ BOD，∴ OC= OD．

又 E、 F为 OC、 OD的中点，

∴ OE= OF，

∴四边形 AFBE是平行四边形，

∴ AF∥ BE．

评析：学习了平行四边形以后，又多了一种证明平行线的方法．

3、证明线段相等

例 3、如图，△ ABC中， AB= AC， P是 BC上的一点， PE∥ AC， PF∥ AB，分别交 AB、 AC于 E、 F，请猜出线段 PE、 PF、 AB之间存在什么关系，并证明你的猜想．

分析：从已知条件中不难证明 PF= AE， PE= BE，从而 PE、 PF、 AB之间满则关系式 PE＋ PF= AB．

即猜想结论： PE＋ PF= AB．

证明：∵ PE∥ AC，

∴∠ BPE=∠ C．

∵ AB= AC，

∴∠ B=∠ C，

∴∠ BPE=∠ B，

∴ PE= BE．

∴ PE∥ AC， PF∥ AB，

∴四边形 AEPF是平行四边形，

∴ PF= AE．

∵ BE＋ AE= AB，

∴ PE＋ PF= AB．

评析：在解决此类探索性问题时，一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论，这就是对猜想问题的常用解题思路．

4、求线段的长度

例 4、如图，在四边形 ABCD中， AB= 6， BC= 8，∠ A=，∠ B=，∠ C=，

求 AD的长．

分析：要求 AD的长度，需要借助辅助线把问题转化，由∠ A和∠ B的关系可以判定 AD∥ BC，这样不妨过点 C作 AB的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边形的性质，使问题得以解决．

解：点 C作 CE∥ AB交 AD于 E，

∵∠ A＋∠ B=，∴ AD∥ BC，

∴四边形 ABCE是平行四边形．

∴ AE= BC= 8， CE= AB= 6，∠ BCE=∠ A=．

又∵∠ BCD=，∴∠ DCE=．

而∠ D=－－－=，

∴∠ D=∠ DCE=，∴ DE= CE，

∴ AD= 8＋ 6= 14．

评析：在判定 AD∥ BC后，辅助线的添加是解题的关键，虽然辅助线的添加在解题时没有一定规律可循，但可以通过分析已知条件与待求结论，从中得到启发，从而正确地作出辅助线．