在学习了“平行四边形”这部分内容后，对于平行四边形的判定问题，可从以下几个方面去考虑：
一、考虑“对边”关系
思路 1：证明两组对边分别相等
例 1、如图 1所示，在△ ABC中，∠ ACB 90°， BC的垂直平分线 DE交 BC于 D，交 AB于 E， F在 DE上，并且 AF＝ CE.
求证：四边形 ACEF是平行四边形.
证明：∵ DE是 BC的垂直平分线，
∴ DF⊥ BC， DB= DC.
∴∠ FDB=∠ ACB= 90°.
∴ DF∥ AC.∴ CE= AE=
AB.
∴∠ 1=∠ 2.
又∵ EF∥ AC， AF= CE= AE，
∴∠ 2=∠ 1=∠ 3=∠ F.
∴△ ACE≌△ EFA.
∴ AC= EF.
∴四边形 ACEF是平行四边形.
思路 2：证明两组对边分别平行
例 2、已知：如图 2，在△ ABC中， AB＝ AC， E是 AB的中点， D在 BC上，延长 ED到 F，使 ED= DF= EB. 连结 FC.
求证：四边形 AEFC是平行四边形.
证明：∵ AB＝ AC，∴∠ B=∠ ACB.
∵ ED= EB，∴∠ B=∠ EDB.
∴∠ ACB=∠ EDB. ∴ EF∥ AC.
∵ E是 AB的中点，∴ BD= CD.
∵∠ EDB=∠ FDC， ED= DF，
∴△ EDB≌△ FDC. ∴∠ DEB=∠ F.
∴ AB∥ CF.
∴四边形 AEFC是平行四边形.
思路 3：证明一组对边平行且相等
例 3、如图 3，已知平行四边形 ABCD中， E、 F分别是 AB、 CD上的点， AE= CF， M、 N分别是 DE、 BF的中点.
求证：四边形 ENFM是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ AD= BC，∠ A=∠ C.
又∵ AE= CF，∴△ ADE≌△ CBF.
∴∠ 1=∠ 2， DE= BF.
∵ M、 N分别是 DE、 BF的中点，
∴ EM= FN.
∵ DC∥ AB，∴∠ 3=∠ 2.
∴∠ 1=∠ 3. ∴ EM∥ FN.
∴四边形 ENFM是平行四边形.
二、考虑“对角”关系
思路：证明两组对角分别相等
例 4、如图 4，在正方形 ABCD中，点 E、 F分别是 AD、 BC的中点.
求证：（ 1）△ ABE≌△ CDF；
（ 2）四边形 BFDE是平行四边形.
证明：（ 1）在正方形 ABCD中， AB= CD， AD= BC，∠ A=∠ C= 90°，
∵ AE= AD， CF= BC，
∴ AE= CF，
∴△ ABE≌△ CDF.
（ 2）由（ 1）△ ABE≌△ CDF知，∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠ 4.
∴∠ BED=∠ DFB.
∵在正方形 ABCD中，∠ ABC=∠ ADC，
∴∠ EBF=∠ EDF.
∴四边形 BFDE是平行四边形.
三、考虑“对角线”的关系
思路：证明两条对角线相互平分
例 5、如图 5，在平行四边形 ABCD中， P 1、 P 2是对角线 BD的三等分点.
求证：四边形 AP 1 CP 2是平行四边形
证明：连结 AC交 BD于 O.
∵四边形 ABCD是平行四边形，∴ OA= OC， OB= OD.
∵ BP 1= DP 2，∴ OP 1= OP 2.
∴四边形 AP 1 CP 2是平行四边形
