平行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质 证明某些几何题时，若能巧妙地构造出平行四边形，就会化难为易、化繁为简，证明过程简捷现举例说明：
一、证两线段相等
例 1、已知：如图 1，在四边形 ABCD中， AB= DC， AD= BC， E、 F在对角线 AC上，且 AE= CF.
求证： BE= DF.
证明：连结 BD交 AC于 O，连结 DE、 BF，
∵ AB= DC， AD= BC，
∴四边形 ABCD是平行四边形，
∴ OB= OD， OA= OC，
又∵ AE= CF，
∴ OE= OF，
∴四边形 FBED是平行四边形，
∴ BE= DF.
二、证两线段互相平分
例 2、如图 2，平行四边形 ABCD中， E、 G、 F、 H分别是四条边上的点，且 AE= CF， BG= DH.
求证： EF与 GH相互平分.
证明：连结 HE、 EG、 GF、 FH，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴∠ A=∠ C， AD= CB，
又∵ BG= HD，
∴ AH= CG，
又∵ AE= CF，
∴△ HAE≌△ GCF，
∴ HE= FG，
同理可证 HF= EG，
∴四边形 EGFH是平行四边形，
∴ EF与 GH相互平分.
三、证两线段平行
例 3、如图 3，平行四边形 ABCD的对角线 AC和 BD交于 O， E、 F分别为 OB、 OD的中点，过 O任作一直线分别交 AB、 CD于 G、 H.
求证： GF∥ EH.
证明：连结 GE、 FH，
∵四边形 ABCD是平行四边形，
∴ OA= OC，∠ BAO=∠ DCO，
又∵∠ AOG=∠ COH，
∴△ AOG≌△ COH，
∴ OG= OH，
又∵ OE= OF，
∴四边形 EHFG是平行四边形，
∴ GF∥ EH.
四、证线段的和差关系
例 4、如图 5，在梯形 BCED中， DE∥ BC，延长 BD、 CE交于 A，在 BD上截取 BF= AD，过 F作 FG∥ BC交 EC于 G.
求证： DE+ FG= BC.
证明：过 F点作 FM∥ AC交 BC于点 M，则四边形 FMCG是平行四边形，∠ BFM=∠ A，
∵ DE∥ BC，
∴∠ EDA=∠ B，
又∵ BF= AD，
∴△ BFM≌△ DAE
∴ BM= DE，
∵四边形 FMCG是平行四边形， FG= MC，
∴ DE+ FG= BM+ MC= BC，
五、证线段的倍分关系
例 5、如图 5，已知 AB= AC， B是 AD的中点， E是 AB的中点.
求证： CD= 2 CE.
证明：延长 CE至 F，使 EF= CE，连结 AF、 BF，
∵ E是 AB的中点，
∴四边形 AFBC是平行四边形，
∴ AC∥ BF， AC= BF，
又∵ AB= AC= BD，
∴ BD= BF，
∴∠ DBC=∠ FBC，
又∵ BC= BC，
∴△ DBC≌△ FBC，
∴ CD= CF= 2 CE，
六、证特殊图形
例 6、如图 6，在梯形 ABCD中， AB∥ CD， AC= BD.
求证：梯形 ABCD是等腰梯形.
证明：过 C点作 CE∥ BD交于 AB的延长线于点 E，则四边形 CDBE是平行四边形，
∴ BD= CE，∠ 1=∠ E.
又∵ AC= BD，∴ AC= CE，
∴∠ 2=∠ E.又∵ AB= BA，
∴△ DAB≌△ CBA，
∴ AD= BC.
∴梯形 ABCD是等腰梯形.
七、证面积问题
例 7、如图 7， E是梯形 ABCD腰 DC的中点.
求证： S△ ABE =
S梯形 ABCD
证明：过点 E作 MN∥ AB，交 BC于 N，交 AD的延长线于 M，则四边形 ABNM是平行四边形，
∴ S△ ABE = S平行四边形 ABNM
又∵ AD∥ BC， DE= CE，
∴∠ 1=∠ C，∠ M=∠ 2，
∴△ EMD≌△ ENC.
∴ S梯形 ABCD= S平行四边形 ABNM，
∴ S△ ABE= S梯形 ABCD.
