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求锐角三角函数值的策略

求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容,求锐角三角函数值的方法较多,解决时,要根据不同的已知条件,选择灵活的解题方法

一、利用定义求解

1、三角形在正方形网格纸中的位置如图 1所示,则 sinα的值是()

(A)

(B)

(C)

(D)

分析:由正方形网格可知角α的对边的长为 3,邻边的长为 4,要求 sinα,只要根据勾股定理求出三角形的斜边,再根据三角函数的定义计算即可.

解:设α的对边为 a,邻边为 b,斜边为 c

a= 3b= 4

c=

sinα=,选 C

评注:解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长,然后直接根据定义进行求值.

二、设参数求解

2、在△ ABC中,∠ C= 90º, sinB=,求 tanA的值.

分析:正切函数的定义, sinB==,可设 AC= 4 kAB= 5 k,再利用勾股定理,求出 AB= 3 k,根据正切函数的定义可求出 tanA的值.

解:在△ ABC中,∠ C= 90º, sinB==

则设 AC= 4 kAB= 5 k

由勾股定理可求,

BC== 3 k

tanA

评注:在直角三角形中,已知一个锐角的一个三角函数值,就可知道与此三角函数值有关的边的比值,若知道两条边的比值,就可求出与之对应的三角函数值,不需要知道具体的边长,所以当已知条件为某个角的三角函数值,求其它三角函数值时,可设参数表示出边长,然后再利用三角函数的定义求解

三、等角代换法

3、如图 2,在矩形 ABCD中, DEACE,设∠ ADE=α,且 AB3AD= 4,则 tanα=______.

分析:要求 tanα,需求 DEAE的长,但计算比较繁,而 RtABC中的边易求出,而由条件易得∠ ADE=∠ BAC,所以只需求出 tanBAC即可.

解:在矩形 ABCD中, DEACE

∴∠ DEA=∠ B= 90°, BC= AD= 3

ADBC,得∠ DAE=∠ ACB

∴∠ ADE=∠ BAC

tanα= tanBAC==.

评注:在一个图形中有多个直角三角形时,当所求的角的三角函数值计算比较麻烦或不易解决时,可考虑等角代换

四、化“斜”为“直”法

4、如图 3,已知 AD为等腰三角形 ABC底边上的高,且 tanB=AC上有一点 E,满足 AE: EC= 2:3.那么, tanADE是()

A

B

C

D

分析:要求 tanADE值,需要构造包含∠ ADE的直角三角形,为此需要过点作 FEAD,只要求得即可.

解:∵ ADBCDAB= AC

∴∠ BAD=∠ CAD

tanB=,∠ B+∠ CAD= 90°,

tanCAD=

EFADADF

tanCAD=

EF=

ADBCEFAD

EF// CB

AE: EC= 2:3.∴ AF: FD= 2:3

FE=

tanADE=,故选 C

评注:当所要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时,其解题思路是构造直角三角形或寻找与某个直角三角形相等的角.本采用了构造直角三角形的方法.

五、利用方程思想

5、如图 4,△ ABC中,∠ C= 90°, AC+ BC= 7AC> BC), AB= 5,则 tanB=________.

分析:要求 tanB,根据锐角三角函数的定义,则需要求到对边 AC和邻边 BC的长,因为知道斜边 AB= 5,且 AC+ BC= 7,所以可以根据勾股定理进行计算.

解:设 AC= x,则 BC= 7 - x,根据勾股定理,得

x 2+( 7 - x) 2= 5 2,解得 x= 4

AC= 4BC= 3,∴ tanB=

评注:本题的解题思路是根据已知条件确定∠ B的对边和邻边的长,然后根据定义进行求值.同时体现了方程思想在求三角函数值中的应用.实际上,本题是一道填空题,不通过计算直接观察就可以解决.因为斜边是 5,且两条直角边的和为 7,所以两条直角边的长分别是 43. 

六、数形结合法

6、已知 tanα=,求:的值.

分析:解决本题的关键是运用三角函数的定义.由已知条件 tanα=,可设在 RtABC,∠ C= 90°,∠ B=α,则有 AC= 3 kBC= 4 k,可求出 sinα=cosα=,将其代入计算即可.

解:在 RtABC中,令∠ C= 90°,∠ B=α,

tanα=,可设 AC= 3 kBC= 4 k

由勾股定理得 AB= 5 k

sinα=cosα=

sinα=cosα=代入,

=- 7

评注:解决本题的巧妙之处正是见“数”(三角函数)思“形”(直角三角形),充分展示了数形结合思想的魅力