求锐角三角函数值是锐角三角形函数的重要内容,求锐角三角函数值的方法较多,解决时,要根据不同的已知条件,选择灵活的解题方法
一、利用定义求解
例 1、三角形在正方形网格纸中的位置如图 1所示,则 sinα的值是()
(A)
(B)
(C)
(D)
分析:由正方形网格可知角α的对边的长为 3,邻边的长为 4,要求 sinα,只要根据勾股定理求出三角形的斜边,再根据三角函数的定义计算即可.
解:设α的对边为 a,邻边为 b,斜边为 c,
则 a= 3, b= 4,
∴ c=,
∴ sinα=,选 C.
评注:解决这类问题的思路是依据图形确定三角形的三边的长,然后直接根据定义进行求值.
二、设参数求解
例 2、在△ ABC中,∠ C= 90º, sinB=,求 tanA的值.
分析:正切函数的定义, sinB==,可设 AC= 4 k, AB= 5 k,再利用勾股定理,求出 AB= 3 k,根据正切函数的定义可求出 tanA的值.
解:在△ ABC中,∠ C= 90º, sinB==,
则设 AC= 4 k, AB= 5 k,
由勾股定理可求,
BC== 3 k,
∴ tanA=.
评注:在直角三角形中,已知一个锐角的一个三角函数值,就可知道与此三角函数值有关的边的比值,若知道两条边的比值,就可求出与之对应的三角函数值,不需要知道具体的边长,所以当已知条件为某个角的三角函数值,求其它三角函数值时,可设参数表示出边长,然后再利用三角函数的定义求解
三、等角代换法
例 3、如图 2,在矩形 ABCD中, DE⊥ AC于 E,设∠ ADE=α,且 AB= 3, AD= 4,则 tanα=______.
分析:要求 tanα,需求 DE、 AE的长,但计算比较繁,而 Rt△ ABC中的边易求出,而由条件易得∠ ADE=∠ BAC,所以只需求出 tan∠ BAC即可.
解:在矩形 ABCD中, DE⊥ AC于 E,
∴∠ DEA=∠ B= 90°, BC= AD= 3,
由 AD∥ BC,得∠ DAE=∠ ACB,
∴∠ ADE=∠ BAC,
∴ tanα= tan∠ BAC==.
评注:在一个图形中有多个直角三角形时,当所求的角的三角函数值计算比较麻烦或不易解决时,可考虑等角代换
四、化“斜”为“直”法
例 4、如图 3,已知 AD为等腰三角形 ABC底边上的高,且 tanB=, AC上有一点 E,满足 AE: EC= 2:3.那么, tan∠ ADE是()
( A)
( B)
( C)
( D)
分析:要求 tan∠ ADE值,需要构造包含∠ ADE的直角三角形,为此需要过点作 FE⊥ AD,只要求得即可.
解:∵ AD⊥ BC于 D, AB= AC,
∴∠ BAD=∠ CAD,
∵ tanB=,∠ B+∠ CAD= 90°,
∴ tan∠ CAD=,
作 EF⊥ AD交 AD于 F,
则 tan∠ CAD=,
∴ EF=,
∵ AD⊥ BC, EF⊥ AD,
∴ EF// CB,
又 AE: EC= 2:3.∴ AF: FD= 2:3,
∴ FE=,
∴ tan∠ ADE=,故选 C.
评注:当所要求锐角三角函数值的角不在直角三角形内时,其解题思路是构造直角三角形或寻找与某个直角三角形相等的角.本采用了构造直角三角形的方法.
五、利用方程思想
例 5、如图 4,△ ABC中,∠ C= 90°, AC+ BC= 7( AC> BC), AB= 5,则 tanB=________.
分析:要求 tanB,根据锐角三角函数的定义,则需要求到对边 AC和邻边 BC的长,因为知道斜边 AB= 5,且 AC+ BC= 7,所以可以根据勾股定理进行计算.
解:设 AC= x,则 BC= 7 - x,根据勾股定理,得
x 2+( 7 - x) 2= 5 2,解得 x= 4,
∴ AC= 4, BC= 3,∴ tanB=.
评注:本题的解题思路是根据已知条件确定∠ B的对边和邻边的长,然后根据定义进行求值.同时体现了方程思想在求三角函数值中的应用.实际上,本题是一道填空题,不通过计算直接观察就可以解决.因为斜边是 5,且两条直角边的和为 7,所以两条直角边的长分别是 4和 3.
六、数形结合法
例 6、已知 tanα=,求:的值.
分析:解决本题的关键是运用三角函数的定义.由已知条件 tanα=,可设在 Rt△ ABC,∠ C= 90°,∠ B=α,则有 AC= 3 k, BC= 4 k,可求出 sinα=, cosα=,将其代入计算即可.
解:在 Rt△ ABC中,令∠ C= 90°,∠ B=α,
由 tanα=,可设 AC= 3 k, BC= 4 k,
由勾股定理得 AB= 5 k,
∴ sinα=, cosα=.
将 sinα=, cosα=代入,
得=- 7.
评注:解决本题的巧妙之处正是见“数”(三角函数)思“形”(直角三角形),充分展示了数形结合思想的魅力