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锐角三角函数解航海问

航海问题主要包括求航行的时间、求航行速度、判断是否有触礁危险等,是考试中的热点问题.解决航行问题的关键是从实际问题中构建一个或两个直角三角形,通过三角函数直接解决或根据图形中的数量关系建立方程解决.

1:如图 1,一艘轮船自西向东航行,在 A处测得东偏北 21.3°方向有一座小岛 C,继续向东航行 60海里到达 B处,测得小岛 C此时在轮船的东偏北 63.5°方向上.之后,轮船继续向东航行多少海里,距离小岛 C最近?

(参考数据:

分析:根据点到直线的垂线段最短,距离小岛最近的位置即为过 C点作 AB的垂线垂足的位置.故需过 CCDABD,继续向东航行的距离即为 BD的长.

解:过 CAB的垂线,交直线 AB于点 D,得到 RtACDRtBCD

BD海里,

RtBCD中,,∴

RtACD中,tanA

,即

解得,.

答:轮船继续向东航行 15海里,距离小岛 C最近.

点评:解决本题的关键是理解题中所提问题,将之转化为数学问题解决

2:如图 2,某货船以 24海里/时的速度将一批重要物资从 A处运往正东方向的 M处,在点 A处测得某岛 C在北偏东 60°的方向上.该货船航行 30分钟后到达 B处,此时再测得该岛在北偏东 30°的方向上,已知在 C岛周围 9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行,该货船有无触礁危险?试说明理由.

分析:要判断货船是否有触礁的危险,关键比较点 C到正东方向的距离与半径 9海里的大小,若小于 9海里,则有触礁的危险.因此,需过点 C向正东方向作垂线,转化为解直角三角形的问题.

解:过 C点作 CD与正东方向线垂直,垂足为 D.CD长为海里,

RtCBD中,(海里),

RtCAD中,(海里),

,解得:.

,所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险.

点评:有无触礁问题是航海中的热点,也是中考试题中经常出现的试题.解决此类问题需要正确理解题意,从实际问题构建直角三角形模型,而且还要注意一些解题技巧,如能用乘法的运算的,不用除法,能用正弦计算的,不用余弦.