一、知识梳理
斜率为的直线与圆锥曲线相交于两个不同的点，则弦长．
特别提示：当直线的斜率不存在时，可直接求得直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
二、方法突破
1．弦长公式体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的．
2．过抛物的焦点做一条直线与抛物线交于两点，则称是抛物线的焦点弦，直线的倾斜角为，则有：
（ 1）以为直径的圆必与准线相切；
（ 2）；
（ 3）；
（ 4）；
（ 5）当与抛物线的对称轴垂直时，称为抛物线的通径，它是焦点弦中的最短者，等于．
三、典例导悟
例 1：（ 2012．安徽）如图，、分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知的面积为，求的值．
命题立意：本题主要考察椭圆的标准方程和几何性质、椭圆的定义、直线和椭圆的位置关系等基础知识，考察学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力，难度较大．
解析：（ 1）有题意可知，为等边三角形，，所以
（ 2）方法一：，所以椭圆方程为，
直线的方程为，将其代入椭圆方程，得，
所以．
由
解得：．
方法二：设，因为，所以．
由椭圆定义可知，
再由余弦定理可得．
例 2：椭圆与直线相交于、，是的中点，若，的斜率为，求椭圆的方程．
解析：设，代入椭圆方程
…①
…②
①-②得：，
而，代入上式可得．
再由得
则
由，
即，将代入得，则．
故所求椭圆方程是：．
