18. (理)加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛
（ I）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（ II）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为 X，求 X的分布列和数学期望.
（理）
18.(文)为预防 H 1 N 1病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于 90%，则认为测试没有通过），公司选定 2000个流感样本分成三组，测试结果如下表：
已知在全体样本中随机抽取 1个，抽到 B组疫苗有效的概率是 0.33．
（ I）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360个测试结果，问应在 C组抽取样本多少个？
（ II）已知，，求通过测试的概率．
解：（ I）∵，∴
∵，
∴应在 C组抽取样个数是（个）；
（ II）∵，，，∴（，）的可能性是
（ 465， 35），（ 466， 34），（ 467， 33），（ 468， 32），（ 469， 31），（ ANOAHDIGITAL 10， ANOAHDIGITAL 11），
若测试没有通过，则，，
（，）的可能性是（ 465， 35），（ 466， 34），
通过测试的概率是．
19. 如图，已知平面，平面，△为等边三角形，
，为的中点
( 1)求证：平面；
( 2)求证：平面平面；
（理做，文不做）( 3)求直线和平面所成角的正弦值
方法一：
( 1)证法一：取的中点，连.
∵为的中点，∴且
∵平面，平面，
∴，∴
又，∴
∴四边形为平行四边形，则
∴平面
证法二：取的中点，连.
∵为的中点，∴
∵平面，平面，∴
又，
∴平面，平面.
又，∴平面平面
∵平面，
( 2)证：∵为等边三角形，为的中点，∴
又，故平面
∵，∴平面
∴平面平面( 3)
解：在平面内，过作于，连.
∵平面平面， ∴平面.
∴为和平面所成的角
设，则，
，
R t△中，.
∴直线和平面所成角的正弦值为
方法二：
设，建立如图所示的坐标系，则
.
( 1)证：，
∵，平面，∴平面
( 2)证：∵，
∴，∴.
∴平面，又平面，
∴平面平面
( 3)解：设平面的法向量为，由可得：
，取
又，设和平面所成的角为，则
∴直线和平面所成角的正弦值为.
20. 已知椭圆（ a＞ b＞ 0）的焦距为 4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为 k的直线 l经过点 M（ 0， 1），与椭圆 C交于不同两点 A、 B．
（ 1）求椭圆 C的标准方程；
（ 2）当椭圆 C的右焦点 F在以 AB为直径的圆内时，求 k的取值范围．
解：（ 1）∵焦距为 4，∴ c= 2
又∵的离心率为
∴，∴ a=， b= 2
∴标准方程为
（ 2）设直线 l方程： y= kx+ 1， A（ x 1， y 1）， B（ x 2， y 2），
由得
∴ x 1+ x 2=， x 1 x 2=
由（ 1）知右焦点 F坐标为（ 2， 0），
∵右焦点 F在圆内部，∴＜ 0
∴（ x 1 -2）（ x 2 -2）+ y 1 y 2＜ 0
即 x 1 x 2 -2（ x 1+ x 2）+ 4+ k 2 x 1 x 2+ k（ x 1+ x 2）+ 1＜ 0
∴＜ 0
∴ k＜经检验得 k＜时，直线 l与椭圆相交，
∴直线 l的斜率 k的范围为（ -∞，）
21. （理）定义在( 0，＋∞)上的函数，，且在处取极值
（Ⅰ）确定函数的单调性
（Ⅱ）证明：当时，恒有成立
解：（Ⅰ），则，
由已知，即
所以，则由，
所以在上是增函数，在上是减函数
（Ⅱ） 当时，，要证等价于
，即
设，则
当时，，所以在区间( 1，)上为增函数
从而当时，，即，故.
21.（文）已知函数，其中是导函数
(Ⅰ)对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；
(Ⅱ)设,当实数在什么范围内变化时,函数的图象与直线只有一个公共点
解：（Ⅰ）由题意， 令，
对，恒有，即
∴ 即，解得.
故时，对满足的一切的值，都有
（Ⅱ）
①当时，的图象与直线只有一个公共点
②当时，列表：
∴
又∵的值域是，且在上单调递增
∴当时函数的图象与直线只有一个公共点。
当时，恒有由题意得，
即，解得
综上，的取值范围是.
