一、知识梳理
1.抛物线的定义:平面内与一个定点 F和一条定直线 l( l不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
焦点和准线:定义中的点 F叫做焦点;直线 l叫做准线.
2.抛物线的标准方程
二、要点突破
1.二次函数与抛物线的标准方程的关系:二次函数的图像是开口向上或向下的抛物线,因此抛物线开口向左或向右不能认为是二次函数的图像.二次函数的顶点坐标为,对称轴为,它是由平移得到,而的标准方程为,当时,开口向上,顶点,焦点,对称轴为轴;当时,开口向下,顶点,焦点.
2.四种位置不同的抛物线和它们的标准方程的区别和联系
( 1)数形共同点:
①原点在抛物线上;
②对称轴为坐标轴;
③准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的,即;
④焦点到准线的距离均为.
( 2)数形不同点:
①对称轴为轴时,方程的右端为,左端为,对称轴为轴时,方程的右端为,左端为;
②开口方向与轴(或轴)的正半轴相同,焦点在轴(或轴)的正半轴上,方程的右端取正号,开口方向与轴(或轴)的负半轴相同,焦点在轴(或轴)的负半轴上,方程的右端取负号.
3.求抛物线标准方程的方法
主要是待定系数法,其步骤为:
( 1)依据条件设出抛物线标准方程的类型(当焦点位置不确定时,应分类讨论);
( 2)求参数;
( 3)简明写出答案.
三、典例解析
例 1:分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
( 1)过点;
( 2)焦点在直线上;
( 3)以坐标轴为对称轴,且过点;
( 4)以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为.
解析:( 1)因为点在第四象限,所以抛物线的标准方程为:
或
把点的坐标分别代入和得:,
所以所求抛物线的标准方程为或.
( 2)令得;令得
所以抛物线的焦点为或,
故所求抛物线的标准方程为或.
( 3)由题意,方程可设为或,
将点的坐标代入得或,
( 4)由焦点到准线的距离为,可知
故所求抛物线的标准方程为或或或.
题后反思:( 1)抛物线的标准方程只有一个待定系数,故求抛物线的标准方程时,应设法建立参数的关系式,求的值;
( 2)解答本题应注意到分类.
例 2:已知抛物线的方程如下,分别求其焦点和准线方程.
( 1);
( 2).
解析:( 1)因为,所以抛物线的焦点坐标为,准线方程是.
( 2)化为,抛物线开口向下,所以,
所以抛物线的焦点坐标为,准线方程是.
题后反思:已知抛物线的方程求它的焦点坐标和准线方程时,首先要判断抛物线的对称轴和开口方向,再利用的几何意义,求出焦点坐标和准线方程.
例 3:已知抛物线的焦点是,点是抛物线上的动点,又有点,求的最小值,并求出取最小值时点的坐标.
解析:由定义知,抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离,所以求的问题可以转化为求的问题.
将代入抛物线方程得,
因为所以点在抛物线内部.
设抛物线上点到准线:的距离为,
由定义知=,
所以当时,最小,最小值,
即的最小值为,
此时点的纵坐标为,代入得:,
点的坐标为.
题后反思:本题若设,利用两点间的距离公式建模求解,难以得到答案,而由抛物线的定义将转化为到准线的距离,则当时,取得最小值,从而使问题迎刃而解.