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双曲线的简单几何性质

一、双曲线的几何性质

二、要点突破

1. 如何求双曲线的渐近线方程

对于双曲线,把方程右边的“ 1”换成“ 0”得双曲线渐近线方程,故,即

2. 有共同渐近线的双曲线系方程

为渐近线的双曲线方程,利用双曲线系求双曲线方程较为简单.

3. 直线与双曲线的位置关系

一般地,设直线…①

双曲线…②

把①代入②得

1)当,即时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线相交于一点.

2)当,即时,

直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交;

直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线切;

直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相离.

三、典例解析

1:求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.

解析:把方程化为标准方程

由此可知,半实轴长,半虚轴长

焦点坐标为

离心率

顶点坐标为

渐近线方程为

题后反思:已知双曲线的标准方程确定其性质时,一定要弄清方程中的所对应的值,再利用得到,从而确定.若方程不是标准形式的先化成标准方程,再确定,的值.

2:已知双曲线渐近线的方程为

1)若双曲线经过,求双曲线的方程;

2)若双曲线的焦距是,求双曲线的方程;

3)若双曲线顶点间的距离是 6,求双曲线的方程.

解析:解法一:( 1)由双曲线渐近线的方程为

可设双曲线方程为

因为双曲线经过,所以

又渐近线斜率

所以,解得

故所求双曲线方程为

2)设双曲线方程为

因为,所以

由渐近线斜率得

故有解得

所以所求双曲线方程为

3)由( 2)所设方程可得:解得

故所求双曲线方程为

解法二:由双曲线渐近线的方程为

可设双曲线方程为

1)因为双曲线经过,所以

故所求双曲线方程为

2)若,则

由题设所以

所求双曲线方程为

,则

由题设所以

所求双曲线方程为

故所求双曲线方程为

3)若,则,由题设,所以

所求双曲线方程为

,则由题设,所以

所求双曲线方程为

故所求双曲线方程为

题后反思:( 1)解法一是设出双曲线的标准方程,利用条件列出关于,的等式,解方程组求出待定系数;

2)解法二利用了共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关于参数的关系式,求出,但应特别注意值的符号与双曲线焦点的对应.

两种方法都很重要,应认真领会.

3:焦点在轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为 12,求此双曲线的方程及离心率.

解析:由已知可设双曲线方程为

所以两条渐近线为

因为两条渐近线的夹角为,故分两种情况,

的倾斜角为

的倾斜角为时,

,即

所以双曲线方程为

的倾斜角为时,

,即

所以双曲线方程为

提后反思:确定双曲线的渐近线方程就是确定渐近线的斜率.由就能结合已知条件求得其他的参数.另外只有渐近线方程是不能确定双曲线的焦点所在轴的.

4:直线在双曲线上截得的弦长为 4,其斜率为 2,求直线轴上的截距

解析:设直线的方程为

……①

设直线与双曲线交于两点,由根与系数的关系得:

由①式得,把代入得

所以

题后反思:直线与双曲线相交的题目,一定要联立方程得方程组,消去一个变量转化成二次方程,要注意根与系数的关系、根的判别式、两点间距离公式、弦长公式的正确使用.