一、双曲线的几何性质
二、要点突破
1. 如何求双曲线的渐近线方程
对于双曲线,把方程右边的“ 1”换成“ 0”得双曲线渐近线方程,故,即.
2. 有共同渐近线的双曲线系方程
以为渐近线的双曲线方程,利用双曲线系求双曲线方程较为简单.
3. 直线与双曲线的位置关系
一般地,设直线…①
双曲线…②
把①代入②得
( 1)当,即时,直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线相交于一点.
( 2)当,即时,
.
直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交;
直线与双曲线有一个公共点,此时称直线与双曲线切;
直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相离.
三、典例解析
例 1:求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
解析:把方程化为标准方程,
由此可知,半实轴长,半虚轴长.
焦点坐标为;
离心率;
顶点坐标为;
渐近线方程为.
题后反思:已知双曲线的标准方程确定其性质时,一定要弄清方程中的所对应的值,再利用得到,从而确定.若方程不是标准形式的先化成标准方程,再确定,的值.
例 2:已知双曲线渐近线的方程为.
( 1)若双曲线经过,求双曲线的方程;
( 2)若双曲线的焦距是,求双曲线的方程;
( 3)若双曲线顶点间的距离是 6,求双曲线的方程.
解析:解法一:( 1)由双曲线渐近线的方程为,
可设双曲线方程为.
因为双曲线经过,所以.
又渐近线斜率,
所以,解得.
故所求双曲线方程为.
( 2)设双曲线方程为或.
因为,所以.
由渐近线斜率得或,
故有或解得或,
所以所求双曲线方程为或.
( 3)由( 2)所设方程可得:或解得或,
故所求双曲线方程为或.
解法二:由双曲线渐近线的方程为,
( 1)因为双曲线经过,所以,
( 2)若,则,
由题设所以,
所求双曲线方程为
若,则,
( 3)若,则,由题设,所以
若,则由题设,所以
题后反思:( 1)解法一是设出双曲线的标准方程,利用条件列出关于,的等式,解方程组求出待定系数;
( 2)解法二利用了共渐近线的双曲线系,由题设条件建立关于参数的关系式,求出,但应特别注意值的符号与双曲线焦点的对应.
两种方法都很重要,应认真领会.
例 3:焦点在轴上的双曲线,它的两条渐近线的夹角为,焦距为 12,求此双曲线的方程及离心率.
解析:由已知可设双曲线方程为,
所以两条渐近线为,
因为两条渐近线的夹角为,故分两种情况,
即的倾斜角为或.
当的倾斜角为时,
,即.
又,
所以双曲线方程为,.
提后反思:确定双曲线的渐近线方程就是确定渐近线的斜率.由就能结合已知条件求得其他的参数.另外只有渐近线方程是不能确定双曲线的焦点所在轴的.
例 4:直线在双曲线上截得的弦长为 4,其斜率为 2,求直线在轴上的截距.
解析:设直线的方程为,
由得……①
设直线与双曲线交于两点,由根与系数的关系得:
,
又
由①式得,把代入得,
所以.
题后反思:直线与双曲线相交的题目,一定要联立方程得方程组,消去一个变量转化成二次方程,要注意根与系数的关系、根的判别式、两点间距离公式、弦长公式的正确使用.