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2012高三模拟理科试题( 2)——解答题

三、解答题(本大题共 6小题,共 75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 12分)

已知函数

1)求函数的最小正周期和单调减区间;

2)求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的值

【解题思路】本题考查两角和与差的三角函数及辅助角公式,三角函数的性质1)问先将函数化为的形式,然后利用周期公式求最小正周期,通过解不等式求单调递减区间;( 2)问要利用整体的思想求三角函数在给定区间内的最大值和最小值.

【解析】=

,( 4分)

1)最小正周期,( 5分)

得,

所以单调减区间为,( 8分)

2,( 9分)

时,函数有最小值

时,函数有最大值12分)

【方法技巧】求与三角函数的周期、单调区间和最值,一般都是利用两角和与差的三角函数及辅助角公式将函数化为的形式,然后运用整体的思想根据的性质进行求解

18.(本小题满分 12分)

一盒子中装有大小相同的黑球、白球、红球共 10个,已知从盒子中任意摸出 1个球,得到黑球的概率是;从盒子中任意摸出 2个球,至少有一个白球的概率是

1)求盒子中各色球的个数;

2)从盒子中任意摸出 3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的分布列及数学期望和方差

【解题思路】本题考查排列组合及等可能事件的概率计算1)问要根据排列组合的知识表示出基本事件的个数,利用等可能事件的概率公式列方程求解;( 2)问先写出分布列,根据期望公式和方差公式直接运算.

【解析】( 1)设盒子中黑球的个数为

∵从盒子中任意摸出 1个球,得到黑球的概率是

,故;( 3分)

设白球的个数为,∵从盒子中任意摸出 2个球,至少有一个白球的概率是

,解得

即盒子中有黑球 4个,白球 5个,红球 1个;( 6分)

2)由题设知,的所有可能取值为 0123;则由( 1)知,

;( 9分)

∴ 随机变量的分布列为:

10分)

;( 12分)

【归纳总结】已知概率求参数的值,要利用概率公式列出方程或方程组进行求解;写分布列首先要明确随机变量的所有可能取值,然后才根据概率公式进行计算,运用排列组合知识求基本事件数时要做到不重不漏

19.(本小题满分 12分)

如图,在四棱锥 P-ABCD中, PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD

是直角梯形, ABAD,且 AD= 2 AB= 2 BC.

1)在棱 PA上是否存在点 E,使得 PC//平面 EBD

若存在,求 PE: PA的值,并证明你的结论;若不存在,

说明理由;

2)当 PA= AD时,求二面角 B-PC-A的余弦值.

【解题思路】本题主要考查空间几何体的结构特征、线面平行与垂直的证明以及二面角的求解,考查了逻辑推理能力、空间想象能力和转化的数学思想对于( 1),要判定 PC//平面 EBD,只需在平面 EBD中找到一条直线与 PC平行;对于( 2)则可先作出二面角的平面角,再利用解直角三角形知识求解.本题的另一种思路便是空间向量法

【解析】(方法一)( 1)在棱 PA上存在点 E,使得 PC//平面 EBD,且 PE: PA1:3.1分)

证明:当 PEPA= 1:3时.连接 AC,交 BD于点 O

BCAD,且 BCHW AD

HW,即 OC: AC1:3,

∴在HW中,HW

EO// PC,由 OEHW平面 EBD, PCHW平面 EBD

PC//平面 EBD.

即在棱 PA上存在点 E,使得 PC//平面 EBD,且 PEPA1:3.( 4分)

( 2)取 AC中点 M,作 BNPCN,连接 MN

因为 AB= BC,∴ BMAC

因为 PA⊥平面 ABCD,∴平面 PAC⊥平面 ABCD

BM⊥平面 PAC,∴ BMPC,又 BNPC,∴ PC⊥平面 BMN

MNPC

∴∠ BNM为二面角 B-PC-A的平面角,设∠ BNM=HW

由已知得 BM=HWBN=HW

HW,∴HW

即二面角 B-PC-A的余弦值为HW( 12分)

(方法二)( 1)如图以 A为原点, ABADAP分别为 x轴, y轴, z轴建立坐标系 A-xyz.

AB= 1,则 B( 1,0,0), C( 1,1,0), D( 0,2,0),

( 1)设 E( 0,0,HW),HW为平面 EBD的法向量,

HW,HW,

HW,得HW

y= 1,则HW,( 3分)

HW,且HW,

HW,∴HW=HW

∴在棱 PA上存在点 E,使得 PC//平面 EBD,此时 PEPA= 1:3.( 5分)

( 2)设 AB= 1,则 PA= AD= 2.

连接 AC,取 AC中点 M,作 BNPCN,连接 MN

AB= BC,∴ BMAC

PA⊥平面 ABCD,∴平面 PAC⊥平面 ABCD

BM⊥平面 PAC,∴HW是平面 PAC的一个法向量.( 7分)

易求得 M( 0.5 ,0.5 ,0),故HW

HW为平面 BPC的法向量,又HW

则由HW,得HW,令 z 1= 1,则HW,( 10分)

HW

HW二面角 B-PC-D的余弦值大小为HW( 12分)

【方法技巧】利用空间向量解决存在性问题,将空间位置关系的推理证明,简化为解方程的计算问题,大大降低了对空间相象力的要求;利用空间向量求角和距离,跳过了传统方法“一作二证明三求解”中的作和证两个步骤,解题过程更简洁,同学们一定掌握

20.(本小题满分 13分)

已知数列的首项,前项和为,且

1)求数列的通项公式;

2)设数列,数列的前项和为,求满足不等式的最小正整数.

【解题思路】本题主要考查数列的递推公式,构造法求数列的通过公式,以及分组求和法1)问由的关系构造出一个新的等比数列;( 2)利用分组求和的方法求数列的和,然后解不等式求解.

【解析】( 1)由可得,

两式相减得,,即

从而;( 2分)

时,,∴

,∴,从而

故总有,从而;( 4分)

∴ 数列是以 6为首项,以 2为公比的等比数列,

,即;( 6分)

2)由( 1)得,,( 8分)

;( 10分)

即为,

,故最小正整数的值为 5.13分)

【命题动向】数列是考查考生运用数学思想方法分析和解决问题的良好素材,高考试题难度不大,但比较灵活;首先要重视数列基础知识通项、前项和等的求法,还要善于构造新数列,注意数列与函数、不等式结合的题目,以及特殊到一般的数学思想方法等

21.(本小题满分 13分)

已知椭圆 C的离心率中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源,长轴的左右端点分别为中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源.

(Ⅰ)求椭圆 C的方程;

(Ⅱ)设直线中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源与椭圆 C交于 PQ两点,直线中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源交于点 S.试问:当 m变化时,点 S是否恒在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由

【解题思路】本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系1)问根据已知条件,直接解出 abc的值,写椭圆的标准方程;( 2)先由特殊值求出交点坐标,找出直线方程,然后再利用直线与椭圆的位置关系进行证明.

【解析】(Ⅰ)设椭圆中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源的方程为中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源

中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源,∴中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源,( 3分)

∴椭圆中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源的方程为中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源5分)

(Ⅱ)解法一:取中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源

直线中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源的方程是中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源直线中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源的方程是中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源

交点为中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源7分)

中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源,由对称性可知交点为中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源

若点中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源在同一条直线上,则直线只能为中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源,( 8分)

以下证明对于任意的中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源直线中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源与直线中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源的交点中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源均在直线中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源

事实上,由中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源

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中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源,则中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源.

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中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源交于点中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源11分)

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这说明,当中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源变化时,点中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源恒在定直线中学数学信息网 www.zxsx.com 专业打造高中数学教育教学资源13分)

【归纳总结】求椭圆的标准方程,一般都是根据已知条件列关于 abc的方程,通过解方程组求参数的值;解决直线与椭圆相交的相关问题,一般都是将直线方程代入椭圆方程,利用根与系数的关系进行转化.

22.(本小题满分 13分)

已知函数.

1)求函数的单调区间;

2对定义域每的任意恒成立,求实数的取值范围;

3)证明:对于任意正整数,不等式恒成立

【解题思路】本题考查导数、导数在研究与函数的单调性、导数与函数的最值等基本知识,考查分析问题解决问题的能力,考查导数在研究不等式问题中的深层次运用1)讨论导数的符号即可,可以归结为讨论一个一元二次不等式的解;( 2)即函数的最小值不小于零时的的取值范围;( 3)根据( 2)构造不等式,通过函数的不等式得到需要证明的不等式.

【解析】.

1)当时,若,则,若,则,故此时函数的单调递减区间是,单调递增区间是

时,的变化情况如下表:

所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是

时,,函数的单调递增区间是

时,同可得,函数的单调递增区间是,单调递减区间是4分)

2)由于,显然当时,,此时对定义域每的任意不是恒成立的,

时,根据( 1),函数在区间的极小值、也是最小值即是,此时只要即可,解得,故得实数的取值范围是7分)

3)当时,,等号当且仅当成立,这个不等式即,当时,可以变换为,( 9分)

在上面不等式中分别令

所以13分)

【规律总结】高考对导数应用的考查是多方位的,但一般是先使用导数方法研究函数的单调性、极值、最值等,然后再结合方程、不等式等问题把试题引向深入本题中第三问要充分使用第二问的结论,这也是高考试题分步设问中经常使用的手法