一、知识梳理
1. 椭圆的简单几何性质
2. 点与椭圆、直线与椭圆的位置关系
( 1)点与椭圆的位置关系：
点在椭圆上；
点在椭圆内部；
点在椭圆外部．
( 2)直线与椭圆的位置关系：
直线与椭圆相切有一组实数解，即．
直线与椭圆相交有两组实数解，即．
直线与椭圆相离没有实数解，即．
二、要点突破
1．椭圆的对称性
( 1)判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：若把方程中的换成-，方程不变，则曲线关于轴对称；若把方程中的换成-，方程不变，则曲线关于轴对称；若把方程中的、同时换成-、-，方程不变，则曲线关于原点对称．
( 2)椭圆关于轴、轴对称也关于原点对称．
2．椭圆的离心率的理解和应用
( 1)离心率，在椭圆中，．
( 2)与离心率有关的题目很多，要注意合理的应用．离心率在求椭圆的标准方程、参数的范围时经常会遇到这些题．
3．直线与椭圆的位置关系
( 1)直线与椭圆的三种位置关系：相交、相切、相离．
( 2)直线与椭圆位置关系的判断：若直线与椭圆有两个不同的公共点，则直线和椭圆相交；若直线与椭圆有且只有一个公共点，则直线和椭圆相切；若直线与椭圆没有公共点，则直线和椭圆相离．
4．弦长公式
设直线方程，椭圆方程．直线与椭圆的两个交点为，则或．
二、典例剖析
例 1：设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标．
解析：设所求的椭圆方程是，或，
则解得
所以所求的椭圆方程为或．
离心率，
当焦点在轴上时，焦点为，顶点为．
温馨提示：条件未指明焦点在哪个坐标轴上，故需考虑两种情况．涉及此类问题，其关键是确定椭圆的方程，准确理解椭圆的几何性质．
例 2：已知为椭圆的左焦点，、分别为的右顶点和上顶点，是椭圆上的一点，当，(为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．
解析：设椭圆的标准方程是，根据题意得，，，则，即，
因为，所以，即，所以，
所以，所以．
温馨提示：求椭圆离心率的常见思路：一是先求，再计算．二是依据条件的信息，结合有关的知识和的关系式，构造的一元方程，再求解．
例 3：已知椭圆及直线．
( 1)当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；
( 2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程．
解析：( 1)由得．
因为直线与椭圆有公共点，所以，解得．
( 2)设直线与椭圆交于点，由（ 1）知，，
由韦达定理，得．
所以
所以当时，最大，此时直线方程为．
温馨提示：圆锥曲线弦长的求法通常是利用两点间的距离公式求得，并结合弦所在直线的斜率，利用弦长公式与根与系数的关系结合较为简单，如果是焦点弦可结合椭圆的定义求解．
