一、知识梳理
1. 椭圆的有关概念
( 1)椭圆的定义：平面内与两个定点 F 1、 F 2的距离的和等于常数 2 a（大于| F 1 F 2|）的点的轨迹叫做椭圆．
平面内与两个定点 F 1、 F 2的距离的和等于常数 2 a（等于| F 1 F 2|）的点的轨迹是线段 F 1 F 2．
平面内与两个定点 F 1、 F 2的距离的和等于常数 2 a（小于| F 1 F 2|）的点的轨迹不存在．
( 2)椭圆的焦点与焦距：椭圆的定义两个定点 F 1、 F 2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距．
2．椭圆的标准方程
( 1)焦点在轴上的椭圆的标准方程是．
( 2)焦点在轴上的椭圆的标准方程是．
( 3)之间的关系是．
( 4)椭圆的焦点在轴上椭圆的标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上椭圆的标准方程中项的分母较大．
( 5)当椭圆的焦点位置不确定时求椭圆的标准方程可设一般式：．
二、要点突破
1．正确理解椭圆的两种标准形式需注意以下几个问题
( 1)三个量的关系：椭圆方程中，表示椭圆上的点到两焦点间距离的和的一半，（都是正数）恰构成一个直角三角形的三条边，是斜边，所以，且，其中是焦距的一半，叫做半焦距．
( 2)椭圆，的相同点为他们的形状、大小都相同，都有和；不同点为两种椭圆的位置不同，他们的焦点坐标也不同．
( 3)通过标准方程可以判断焦点的位置：看、的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．
2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤
( 1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在轴上还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能．
( 2)设方程：依据上述判断设方程为或；如果焦点位置不确定时方程可设为：．
( 3)找关系：依据已知条件，建立关于或的方程组．
( 4)得方程：解方程组，将或代入所设方程即为所求．
三、典例剖析
例 1：已知：点是椭圆上的一点，和是焦点，且，求的面积．
解析：在椭圆中，，．
又在椭圆上，……①
由余弦定理知：…②
① 式两边平方，得…③
③-②，得，
，
．
温馨提示：在椭圆中，由椭圆上的点、两个焦点组成的三角形引出的问题很多，这些题目解决的方法，经常是用定义结合正、余弦定理、勾股定理等来解决，在解题时，经常用到配方、解方程，把看做一个整体来处理．
例 2：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
( 1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上任意一点到两焦点距离的和等于 10；
( 2)两个焦点的坐标分别是，并且椭圆经过点．
解析：（ 1）由已知：椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程是，
所以所求的椭圆方程是．
( 3)由已知：椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程是，
由椭圆定义知：，
即，又，，
温馨提示：利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：
( 1)由焦点坐标确定方程是，还是．
( 2)根据椭圆的定义求．
( 3)由，求出．
四、考技点悟
利用椭圆的定义解决其他问题，充分挖掘题设条件中隐含的定义要素，达到简化运算的效果．
( 1)椭圆的定义式：．在解题中将看做一个整体，可简化运算．
( 2)常见的有椭圆中焦点三角形问题：设和是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，当、、三点不在同一直线上时，、、构成了一个三角形——焦点三角形．
依椭圆的定义知：，．
由三角形的边角关系：正弦定理、余弦定理和椭圆的定义等来解决焦点三角形等有关问题，如的面积问题、的最值问题等．
