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素数有多少个?

素数可以说是自然数体系唯一的构建模块,因此几个世纪以来受到了数学家们特别的关注在众多涉及素数的问题中,其中一个有趣的问题便是素数在整数中的分布问题

观察小于 10025个素数,看上去它们并没有什么特定的模式,似乎随机穿插在整数中.如果再继续寻找更大的素数,会发现当数字变得越来越大,素数变得越来越稀少,那么就要问一个问题了,素数有多少个?

在公元前 300年希腊大数学家欧几里得认识到,素数有无穷多个.他用反证法证明了这个结论

假设素数个数有限,设为,令

P不能被整除,所以 P或者本身是素数,

即是含有不同于的素数因数,这就否定了素数有限的假设

两千年后,数学家高斯意识到,虽然素数有无穷多个,但它又确实非常稀少,事实上素数在各区段所占的份额如下:

1-100—— 25个—— 0.250

100-1000—— 143个—— 0.159

1000-2000—— 135个—— 0.135

2000-3000—— 127个—— 0.127

3000-4000—— 120个—— 0.120

4000-5000—— 119个—— 0.119

5000-10000—— 560个—— 0.112

……

于是他猜测出 n以内素数个数的估计式,这便是我们说的素数定理了. 19世纪末,法国数学家阿达玛和瓦莱普桑证明了这个定理.