如图,质量为 M的足够长金属导轨 abcd放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计,质量为 m的导体棒 PQ放置在导轨上,始终与导轨接触良好, PQbc构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为μ,棒左侧有两个固定于水平面的立柱。导轨 bc段长为 L,开始时 PQ左侧导轨的总电阻为 R,右侧导轨单位长度的电阻为 R0。以 ef为界,其左侧匀强磁场方向竖直向上,右侧匀强磁场水平向左,磁感应强度大小均为 B。在 t= 0时,一水平向左的拉力 F垂直作用在导轨的 bc边上,使导轨由静止开始做匀加速直线运动,加速度为 a。
( 1)求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式;
( 2)经过多长时间拉力 F达到最大值,拉力 F的最大值为多少?
( 3)某过程中回路产生的焦耳热为 Q,导轨克服摩擦力做功为 W,求导轨动能的增加量。
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解析:
( 1)感应电动势ε= BLv
导轨做初速为零的匀加速运动, v= at,ε= BLat
S= at 2 /2,
回路中感应电流随时间变化的表达式
I= BLv/ R总= BLat/[ R+ 2 R0( at 2 /2)]= BLat/( R+ R0 at 2)
( 2)导轨受外力 F,安培力 F A,摩擦力 F f。其中
F A= BIL= B 2 L 2 at/( R+ R0 at 2)
F f=μ F N=μ( mg+ BIL)=μ[ mg+ B 2 L 2 at/( R+ R0 at 2)]
由牛顿定律 F - F A - F f= Ma
F= Ma+ F A+ F f将以上式子代入可得
当 R/ t= R0 at时 F取极大值,此时 t=
因此 Fmax= Ma+μ mg+
( 1+μ) B 2 L 2 /2
( 3)设在此过程中导轨运动距离 s,由动能定理 W合=Δ E k
W合= Mas
由于摩擦力 F f=μ( mg+ F A),所以摩擦力做功
W=μ mgs+μ W A=μ mgs+μ Q
所以 s=( W -μ Q)/μ mg
Δ E k= Mas= Ma( W -μ Q)/μ mg