数学是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具，符号化、形式化是数学的显著特点集合是进入高中阶段数学的第一章，它面临着感性数学向理性数学的过渡，是学好高中数学乃至高等数学的基础，是数学符号化的具体体现集合语言是近现代数学的基本语言，利用它可以简洁、准确的表述数学内容，解释、解决数学问题初步涉及集合，必须对集合的含义有一个切实的了解，掌握集合的元素的特性，真正理解集合的含义，合理运用集合的元素的特性，走出集合的含义的误区下面就集合中元素的三个特性作一诠释，以指点迷津
一、集合中元素的三个特性：
( 1)确定性：对于一个给定的集合，任何一个对象或者是这个集合中的元素，或者不是它的元素，这是集合的基本特征.比如：
等；
( 2)互异性：集合中的任何两个元素都是互不相同的，相同的对象归入任何一个集合时，只能算作这个集合的一个元素.比如：
；
( 3)无序性：在一个集合中，通常不考虑它的元素之间的顺序，也就是说
与表示
相同的集合相等的集合，集合中的元素完全相同
二、典型例题
1、利用确定性解题
例 1、写出集合 B=
的所有元素
解：由题意，集合 B是方程 x+ y= 6，
的解组成的集合，元素为方程的正整数解故所有元素为（ 1， 5），（ 2， 4），（ 3， 3），（ 4， 2），（ 5， 1）.
评注：当集合给定时，集合中的元素是确定的本题中集合中的元素为方程的正整数解；
（ 1， 5）与（ 5， 1）表示不同的元素.
例 2、由实数构成的集合 A满足条件：若
，则
，证明：
( 1)若
，则集合 A中必含有另外两个元素；
( 2)集合 A不可能是单元素集合.
证明：( 1)依题意，若，则，故由，有
，又－ 1≠ 1，∴
，如此循环可得出另外两个数：
.
( 2)假设集合 A是单元素集合，则
，即 a 2－ a+ 1= 0，而此方程无实根，故
，∴集合 A不可能是单元素集合.
评注：搞清集合中的元素是解题的依据，同时应注意集合中的元素的特性确定性与互异性
例 3、已知集合 A=
，若集合 A中至多只有一个元素，求实数 m的范围.
解：由题意，集合 A是方程 mx 2－ 2 x+ 3= 0的解组成的集合，元素为方程的解.故有
( 1) m= 0时，
满足题意；
( 2) m≠ 0时，
，解得
.
综上知，实数 m的范围是 m= 0或.
评注：集合 A中至多只有一个元素等价于方程至多只有一个解.所给方程的解的求解，要注意不能遗漏 m= 0的情况，即一元一次方程的情况.
2、正确运用集合中的元素的互异性
例 4、已知
， 则集合
中的 x应满足什么条件.
解：由元素的互异性知，
，解得
.
例 5、设 a、 b都是非零实数，代数式
可能取到的值所组成的集合为（ ）
A、
B、
C、
D、
解：由题意：当 a、 b同为正数时，值为 3；当 a、 b同为负数时，值为－ 1；当 a、 b异号时，值为－ 1，根据集合中的元素的互异性知，选 D.
评注：集合中的元素的互异性是指元素互不相同，同时有相同对象归入一个集合时，只能当作集合中的一个元素
3、合理运用集合中的元素的三性
例 6、含有三个元素的集合既可表示为
，也可表示为
，求 a 2006+ b 2007的值
解：由题意， 0
及 a≠ 0，可得
，即 b= 0，从而
，进而有 a 2= 1，即 a=－ 1或 1（舍去）（集合元素的互异性），故 a 2006+ b 2007= 1.
例 7、已知
，且 M= N，求 a， b的值.
解：由题意，
或
，结合集合中的元素的三性得 a= 0， b= 1或
.
评注：集合中的元素的特性在解题时，往往是需要同时考虑的，必须时刻牢记
总之，正确理解集合元素的三性，是我们正确理解集合的含义的前提，是我们符号化研究数学的基础，也为我们进一步学习数学奠定了基础
