求函数值域的常用方法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一
3、判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域我们所说的单调性
6、函数单调性法
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发
挥作用
8、数形结合法
9、不等式法
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法
【例 1】求函数 y=
的值域
解：
【例 2】求函数
的值域
解：由算术平方根的性质，知
，
.
∴函数的值域为
【例 3】求函数
的值域
解： 
对称轴 
【例 4】求函数
的值域
解：（换元法）设
，则
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域这种解题的方法体现换元、化归的思想方法它的应用十分广泛
【例 5】求函数
的值域
解：（平方法）函数定义域为：
【例 6】求
的值域
可化为 
如图，
观察得值域
【例 7】求函数
的值域
解：（换元法）设
,则 
原函数可化为:
