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等腰三角形的性质及应用

【知识点】

1. 等腰三角形的有关概念

如图,△ ABC中,若 ABBCAC三边中有其中两边相等,则△ ABC称为等腰三角形.

图( 1)中 ABAC,图( 2)中 ACBC,图( 3)中 ABBC.

相等的两边称为等腰三角形的腰,另一边称为等腰三角形的底边;两腰的夹角称为等腰三角形的顶角,另外两个角称为等腰三角形的底角

2. 等腰三角形的轴对称性

等腰△ ABC是一个轴对称图形.它的对称轴就是角平分线 AD所在的直线.(这里要注意到对称轴的概念——直线,要把一般角的平分线——射线与它们区别开)

3.等腰三角形的下列性质:等腰三角形的两个底角相等;等腰三角形三线合一

我们把在上述图形中由等腰三角形 ABAC这个条件出发,得出的角相等∠ B=∠ C,这条性质称为等腰三角形的两个底角相等.(也称为:同一个三角形中,等边对等角)

由等腰三角形 ABAC和顶角平分线∠ BAD=∠ DAC这两个条件出发,得出 BDCD,∠ BDA=∠ CDA90°(即 ADBCD),这条性质称为等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合,简称为等腰三角形三线合一.

【例题】

1.在△ ABC中, ABAC,∠ A50°,求∠ B,∠ C的度数.

分析: 根据等腰三角形的性质:两底角相等结合三角形的内角和等于 180°来计算.

解:在△ ABC中,

ABAC

∴∠ B=∠ C(在一个三角形中等边对等角)

∵∠ A+∠ B+∠ C180°,∠ A50°

∴∠ B=∠ C=( 180-502130÷ 265°

点评:此题也可以用代数的方法(列方程)来解,其解题依据仍然是:等腰三角形的两底角相等和三角形的内角和为 180°.

2.在等腰三角形 ABC中, ABAC,周长为 14 cmAC边上的中线 BD把△ ABC分成了周长差为 4 cm的两个三角形,求△ ABC各边长.

解:设 AD=x,则 DC=x, AB2x.BC=y.

由题意可以列方程:

解之得: x= 3y= 2

解之得: x=y=

显然第二种情况不符合“三角形两边之和大于第三边”,所以舍去

所以△ ABC的三边长分别为:

ABAC2 x= 6 cmBCy= 2 cm.

3.一个等腰三角形的两个内角度数之比为 41,求这个三角形各角度数.

解:△ ABCABAC,所以∠ C=∠ B

若∠ BAC∶∠ B41

则:∠ BAC+∠ B+∠ C6B180°

所以∠ B= 30°=∠ C,∠ BAC120°.

若∠ B∶∠ BAC41

则:∠ BAC+∠ B+∠ C9BAC180°

所以∠ BAC20°,∠ B=∠ C80°.

4.如图,已知:在中,,求 的度数

解:由条件易得

5.如图,已知:在中, DAC上一点,且求:的度数

解:

6.如图,已知:在等边三角形 ABC中, DE分别在 ABAC上,且BECD相交于点 P.求:的度数

解:

,

7.如图,已知:在中,,点 O 内,且,求:的度数

解:∵

8.如图,已知:在 中,求:的度数

解:是等腰三角形,

9.如图,已知:在中,求:的度数

解: