绝对值是初中数学的一个重点内容，也是考试中的一个常见的考点绝对值有两个定义：
1、绝对值的几何定义：一个数 a的绝对值就是数轴上表示数 a的点与原点的距离.
2．绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是 0.
无论是绝对值的代数定义还是几何定义，都揭示了绝对值的一个重要的性质：绝对值的非负性即
利用绝对值的概念和性质可以解决很多问题，现举例如下：
一、应用绝对值比较大小
绝对值是表示数 a的点到原点的距离，所以两个负数比较大小是可以根据其距离原点的大小来确定，即绝对值的大小来决定.绝对值大的反而小，绝对值小的反而大
例 1、比较大小：
分析：
与
都是负数，应根据两个负数比较大小的依据“两个负数，绝对值大的负数小”进行比较又由于这两个数的绝对值是异分母的正分数，要比较它们的大小，需通分
解：因为
，而
所以
点拨：两个负数比较大小的步骤是：
①先求绝对值； ②再比较绝对值； ③最后比较负数的大小
二、应用绝对值的非负性求值
例 2、已知
，求
的值
分析：根据绝对值的定义可知，任何有理数的绝对值都是非负数（正数和零）
于是
而已知
与
的和为 0，所以只有每个非负数都等于 0，
即
且
，进而求出 x、 y的值.
解：因为
又
所以
所以
所以
点拨：几个数的绝对值等于 0，则其中每个数的绝对值都等于 0，这是非负数的一个重要性质.
三、应用绝对值的定义求值
例 3、若
，求
的值
分析：这个问题的目标是要去掉绝对值，这就需要我们对 a、 b、 c的符号进行讨论，但在讨论前我们要先作好分类的依据(分类的标准是“不重复，不遗漏”)，事实上| abc|的绝对符号的化去是关键，而 abc的正负只与其中的负因子的个数有关，所以我们只要讨论 a、 b、 c中负数的个数即可.
我们分四类讨论：
( 1)当 a、 b、 c三个数全正时，原式= 4；
( 2)当 a、 b、 c三个数中两正一负时,不妨设 a＞ 0, b＞ 0, c＜ 0,所以原式= 1+ 1－ 1－ 1= 0；
( 3)当 a、 b、 c三个数一正两负时，不妨设 a＞ 0, b＜ 0, c＜ 0,所以原式= 1－ 1－ 1+ 1= 0；
( 4)当 a、 b、 c三个数全负时，原式=－ 1－ 1－ 1－ 1=－ 4.
所以原式全部的取值只能是± 4和 0三种可能.
点拨：分类讨论是数学解题中常用的思想，对于需要分类讨论的问题，往往在题目中呈现出一定的信号，比如出现绝对值，出现一些含糊的词语，几何图形的位置不确定等
四、实战中的绝对值
例 4、( 1)阅读下列材料， A、 B在数轴上分别表示实数 a、 b， A、 B两点之间的距离表示为| AB|；当 A、 B两点中有一点在原点时，不妨设点 A在原点，如图 4，
| AB|=| OB|=| b|=| a－ b|；
当 A、 B两点都不在原点时：①见图 5，
点 A、 B都在原点的右边，| AB|=| OB|－| OA|=| b|－| a|= b－ a=| a－ b|；
②见图 6，
点 A、 B都在原点的左边，| AB|=| OB|－| OA|=| b|－| a|=－ b－(－ a)=| a－ b|；
③见图 7，
点 A、 B在原点的两边，| AB|=| OA|+| OB|=| a|+| b|= a+(－ b)=| a－ b|.
( 2)回答下列问题：
①数轴上表示 2和 5的两点之间的距离是________；数轴上表示－ 2和－ 5的两点之间的距离是________；数轴上表示 1和－ 3的两点之间的距离是________；
②数轴上表示 x和－ 1的两点 A和 B之间的距离是________；如果| AB|= 2，那么 x为___________；
③当代数式| x+ 1|+| x－ 2|取最小值时，相应的 x的取值范围是____________.
分析：①| 2－ 5|=|－ 3|= 3，|(－ 2)－(－ 5)|=| 3|= 3，| 1－(－ 3)|=| ANOAHDIGITAL 10|= ANOAHDIGITAL 11；
②| x－(－ 1)|=| x+ 1|，若| AB|= 2，则| x+ 1|= 2，由绝对值的几何意义知 x+ 1=± 2，因此 x=－ 3或 x= 1；
③设和数轴上点 A、 B、 C对应的数分别为－ 1、 2、 x，对 x的取值分类讨论，由数轴上两点间距离公式，得：
(a)当 x=－ 1或 x= 2，即点 C与点 A或点 B重合时，如图 8，| x+ 1|+| x－ 2|= 3；
(b)当－ 1＜ x＜ 2时，点 C在线段 AB上，如图 9(不与 A、 B重合)，此时：
| x+ 1|+| x－ 2|=| AC|+| BC|=| AB|=| 2－(－ 1)|= 3；
(c)当 x＜－ 1时，点 C在线段 BA延长线上，如图 10，此时：
| x+ 1|+| x－ 2|=| AC|+| BC|=| AC|+| AC|+| AB|＞| AB|= 3；
(d)当 x＞ 2时，点 C在线段 AB延长线上，如图 11，
同样有| x+ 1|+| x－ 2|＞ 3.
因此，| x+ 1|+| x－ 2|的最小值为 3，此时 x的取值范围是－ 1≤ x≤ 2.
点拨：本题要求学生通过阅读，理解绝对值的几何意义，能用数轴上两点间的距离公式直接求距离，并能逆向运用公式求数轴上的坐标，还要求学生有分类讨论的思想和数形结合的思想，是一道难题
