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绝对值的应用

绝对值是初中数学的一个重点内容,也是考试中的一个常见的考点绝对值有两个定义:

1、绝对值的几何定义:一个数 a的绝对值就是数轴上表示数 a的点与原点的距离.

2.绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是 0.

无论是绝对值的代数定义还是几何定义,都揭示了绝对值的一个重要的性质:绝对值的非负性即利用绝对值的概念和性质可以解决很多问题,现举例如下:

一、应用绝对值比较大小

绝对值是表示数 a的点到原点的距离,所以两个负数比较大小是可以根据其距离原点的大小来确定,即绝对值的大小来决定.绝对值大的反而小,绝对值小的反而大

1、比较大小:

分析:都是负数,应根据两个负数比较大小的依据“两个负数,绝对值大的负数小”进行比较又由于这两个数的绝对值是异分母的正分数,要比较它们的大小,需通分

解:因为

,而

所以

点拨:两个负数比较大小的步骤是:

①先求绝对值; ②再比较绝对值; ③最后比较负数的大小

二、应用绝对值的非负性求值

2、已知,求的值

分析:根据绝对值的定义可知,任何有理数的绝对值都是非负数(正数和零)

于是

而已知的和为 0,所以只有每个非负数都等于 0

,进而求出 xy的值.

解:因为

所以

所以

所以

点拨:几个数的绝对值等于 0,则其中每个数的绝对值都等于 0,这是非负数的一个重要性质.

三、应用绝对值的定义求值

3、若,求的值

分析:这个问题的目标是要去掉绝对值,这就需要我们对 abc的符号进行讨论,但在讨论前我们要先作好分类的依据(分类的标准是“不重复,不遗漏”),事实上| abc|的绝对符号的化去是关键,而 abc的正负只与其中的负因子的个数有关,所以我们只要讨论 abc中负数的个数即可.

我们分四类讨论:

( 1)当 abc三个数全正时,原式= 4

( 2)当 abc三个数中两正一负时,不妨设 a0, b0, c0,所以原式= 1+ 111= 0

( 3)当 abc三个数一正两负时,不妨设 a0, b0, c0,所以原式= 111+ 1= 0

( 4)当 abc三个数全负时,原式=- 1111=- 4.

所以原式全部的取值只能是± 40三种可能.

点拨:分类讨论是数学解题中常用的思想,对于需要分类讨论的问题,往往在题目中呈现出一定的信号,比如出现绝对值,出现一些含糊的词语,几何图形的位置不确定等

四、实战中的绝对值

4、( 1)阅读下列材料, AB在数轴上分别表示实数 abAB两点之间的距离表示为| AB|;当 AB两点中有一点在原点时,不妨设点 A在原点,如图 4

| AB|=| OB|=| b|=| ab|;

AB两点都不在原点时:①见图 5

AB都在原点的右边,| AB|=| OB|-| OA|=| b|-| a|= ba=| ab|;

②见图 6

AB都在原点的左边,| AB|=| OB|-| OA|=| b|-| a|=- b-(- a)=| ab|;

③见图 7

AB在原点的两边,| AB|=| OA|+| OB|=| a|+| b|= a+(- b)=| ab|.

( 2)回答下列问题:

①数轴上表示 25的两点之间的距离是________;数轴上表示- 2和- 5的两点之间的距离是________;数轴上表示 1和- 3的两点之间的距离是________;

②数轴上表示 x和- 1的两点 AB之间的距离是________;如果| AB|= 2,那么 x为___________;

③当代数式| x+ 1|+| x2|取最小值时,相应的 x的取值范围是____________.

分析:①| 25|=|- 3|= 3,|(- 2)-(- 5)|=| 3|= 3,| 1-(- 3)|=| ANOAHDIGITAL 10|= ANOAHDIGITAL 11

②| x-(- 1)|=| x+ 1|,若| AB|= 2,则| x+ 1|= 2,由绝对值的几何意义知 x+ 12,因此 x=- 3x= 1

③设和数轴上点 ABC对应的数分别为- 12x,对 x的取值分类讨论,由数轴上两点间距离公式,得:

(a)x=- 1x= 2,即点 C与点 A或点 B重合时,如图 8,| x+ 1|+| x2|= 3

(b)当- 1x2时,点 C在线段 AB上,如图 9(不与 AB重合),此时:

| x+ 1|+| x2|=| AC|+| BC|=| AB|=| 2-(- 1)|= 3

(c)x<- 1时,点 C在线段 BA延长线上,如图 10,此时:

| x+ 1|+| x2|=| AC|+| BC|=| AC|+| AC|+| AB|>| AB|= 3

(d)x2时,点 C在线段 AB延长线上,如图 11

同样有| x+ 1|+| x2|> 3.

因此,| x+ 1|+| x2|的最小值为 3,此时 x的取值范围是- 1x2.

点拨:本题要求学生通过阅读,理解绝对值的几何意义,能用数轴上两点间的距离公式直接求距离,并能逆向运用公式求数轴上的坐标,还要求学生有分类讨论的思想和数形结合的思想,是一道难题