一、集合:集合是数学中最基本的概念,高考对集合的考查主要是集合的含义、集合之间的基本关系和集合的运算,并且以集合的运算为主,与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等内容相互交汇,涉及的知识面较广,通常以选择题、填空题的形式出现,难度不大.
考点 1:集合的含义与表示
考情分析:集合的概念,特别是集合元素的三个特征是高考的一个重要考点,常与集合间的关系和运算整合命制小型的综合题.
1.( 2012.新课标理 1)已知集合;则中所含元素的个数为( ).
A. 3
B. 6
C. 8
D. 10
答案: D
解析:要使,当时,可是 1, 2, 3, 4.当时,可是 1, 2, 3.当时,可是 1, 2.当时,可是 1,综上共有 10个,选 D.
2.( 2012.江西理 1)若集合 A={ -1, 1}, B={ 0, 2},则集合{ z︱ z= x+ y, x∈ A, y∈ B}中的元素的个数为().
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
答案: C
解析:因为 x∈ A, y∈ B,所以当 x= -1时, y= 0, 2,此时 z= x+ y= -1或 1.当 x= 1时, y= 0, 2,此时 z= x+ y= 1或 3,所以集合 z={ ANOAHDIGITAL 10, ANOAHDIGITAL 11, ANOAHDIGITAL 12}共三个元素,选 C.
3.( 2012.江苏 26)设集合,.记为同时满足下列条件的集合的个数:
①;②若,则;③若,则.
( 1)求;
( 2)求的解析式(用表示).
解析:( 1)当时,符合条件的集合为:,
∴= 4.
( 2)任取偶数,将除以 2,若商仍为偶数.再除以 2,···经过次以后.商必为奇数.此时记商为.于是,其中为奇数.
由条件知.若则为偶数;若,则为奇数.
于是是否属于,由是否属于确定.
设是中所有奇数的集合.因此等于的子集个数.
当为偶数(或奇数)时,中奇数的个数是().
∴.
解析:( 1)找出时,符合条件的集合个数即可.
( 2)由题设,根据计数原理进行求解.
规律方法:对于以描述法给出的集合,一般要明确集合中代表元素的特征,明确这些元素所满足的条件是什么,是否满足元素的三个特征,这常是解决集合问题的关键.
考点 2:集合间的基本关系
考情分析:集合间的包含关系是高考考查的热点,几乎每套试题都会出现此类题目,一般以填空题、选择题的形式出现,多属容易题,该类问题出题背景广泛,常与函数、方程、不等式、解析几何等知识交汇命题.
4.( 2012.全国卷理 2)已知集合, 则=( ).
A或
B或
C或
D或
答案: B
解析:因为,所以,所以或.若,则,满足.若,解得或.若,则,满足.若,显然不成立,综上或,选 B.
5.填空:( 2012.天津理 11)已知集合集合且则 =__________, = __________.
答案:
解析:由,得,即,所以集合,因为,所以是方程的根,所以代入得,所以,此时不等式的解为,所以,即.
温馨提示:在考查集合间的关系时,要充分掌握集合间的相等和包含关系的真谛.
考点 3:集合的基本运算
考情分析:考查集合的交集、并集、补集运算,一般以选择题、填空题形式出现,多属容易题.
6.( 2012.浙江理 1)设集合 A={ x| 1< x< 4},集合 B={ x| x 2 -2 x -3≤ 0},则 A∩( C R B)=().
A.( 1, 4)
B.( 3, 4)
C.( 1, 3)
D.( 1, 2)∪( 3, 4)
答案: B
解析: B={ x| x 2 -2 x -3≤ 0}={ x| -1≤ x≤ 3}, A∩( C R B)={ x| 1< x< 4}∩{ x| x< -1或 x> 3}={ x| 3< x< 4}.故选 B.
7.( 2012.陕西理 1)集合,,则( ).
A..
B..
C..
D.
答案: C.
解析: ,
,故选 C.
8.( 2012.山东理 2)已知全集,集合,则为( ).
A.
B.
C.
D.
答案: C
解析:,所以,选 C.
9.( 2012.辽宁理 1)已知全集 U={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ANOAHDIGITAL 10, ANOAHDIGITAL 11, ANOAHDIGITAL 12},集合 A={ ANOAHDIGITAL 13, ANOAHDIGITAL 14, ANOAHDIGITAL 15, ANOAHDIGITAL 16, ANOAHDIGITAL 17},集合 B={ ANOAHDIGITAL 18, ANOAHDIGITAL 19, ANOAHDIGITAL 20, ANOAHDIGITAL 21, ANOAHDIGITAL 22},则( C U A)∩( C U B)为().
A.{ 5, 8}
B.{ 7, 9}
C.{ 0, 1, 3}
D.{ 2, 4, 6}
答案: B
解析:因为全集 U={ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},集合 A={ ANOAHDIGITAL 10, ANOAHDIGITAL 11, ANOAHDIGITAL 12, ANOAHDIGITAL 13, ANOAHDIGITAL 14},集合 B={ ANOAHDIGITAL 15, ANOAHDIGITAL 16, ANOAHDIGITAL 17, ANOAHDIGITAL 18, ANOAHDIGITAL 19},所以 C U A={ 2, 4, 6, 7, 9}, C U B={ 0, 1, 3, 7, 9},所以( C U A)∩( C U B)={ 7, 9}.故选 B.
10.( 2012.湖南理 1)设集合 M={ -1, 0, 1}, N={ x| x 2≤ x},则 M∩ N=().
A.{ 0}
B.{ 0, 1}
C.{ -1, 1}
D.{ -1, 0, 0}
答案: B
解析: M={ -1, 0, 1}, N={ x| 0≤ x≤ 1},所以 M∩ N={ 0, 1}.
11.( 2012.广东理 2)设集合 U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}, M={ 1, ANOAHDIGITAL 10, ANOAHDIGITAL 11},则 CuM=().
A. U
B.{ 1, 3, 5}
C.{ 3, 5, 6}
D.{ 2, 4, 6}
答案: C
解析:因为 U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6}, M={ 1, 2, 4},所以 CuM={ 3, ANOAHDIGITAL 10, ANOAHDIGITAL 11},故选 C.
12.( 2012.北京理 1)已知集合 A={ x∈ R| 3 x+ 2> 0} B={ x∈ R|( x+ 1)( x -3)> 0}则 A∩ B=()
A.( -∞, -1)
B.( -1, -2/3)
C.( -2/3, 3)
D.( 3,+∞)
答案: D
解析:和往年一样,依然的集合(交集)运算,本次考查的是一次和二次不等式的解法.因为 A={ x| x> -2/3},利用二次不等式可得 B={ x| x< -1或 x> 3},画出数轴易得 A∩ B=( 3,+∞).故选 D.
13.填空:( 2012.四川理 13)设全集,集合,,则=_______.
答案:
解析:,,
14.填空:( 2012.上海理 2)若集合,,则_____.
答案:
解析:集合,,所以,即.
15.填空:( 2012.江苏 1)已知集合,,则__________.
答案:.
解析:由集合的并集意义得.
规律方法:解答集合运算题,首先要在弄清集合元素的属性的基础上将集合化简,然后再进行求解.一般规律为:若所给集合是数集,用数轴求解;若所给集合是点集,用数形结合法求解;若所给集合是抽象集合,用 Venn图求解.