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一、知识精要

1．导数的几何意义

函数 y＝ f (x)在 x＝ x₀处的导数 f′( x₀)是曲线 y＝ f (x)在点( x₀， f( x₀))处切线 l的斜率，切线 l的方程是 y－ f( x₀)＝ f′( x₀)( x－ x₀)．

2．导数的物理意义

若物体位移随时间变化的关系为 s＝ f (t)，则 f′( t₀)是物体运动在 t＝ t₀时刻的瞬时速度．

3．函数的单调性

在( a， b)内可导函数 f (x)， f′ (x)在( a， b)任意子区间内都不恒等于 0.

f′ (x)≥ 0⇔函数 f (x)在( a， b)上单调递增；

f′ (x)≤ 0⇔函数 f (x)在( a， b)上单调递减．

二、归纳总结

易误警示

直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．

两个条件

( 1) f′ (x)＞ 0在( a， b)上成立是 f (x)在( a， b)上单调递增的充分条件.

( 2)对于可导函数 f (x)， f′( x₀)＝ 0是函数 f (x)在 x＝ x₀处有极值的必要不充分条件

三个步骤

求函数单调区间的步骤：

( 1)确定函数 f (x)的定义域；

( 2)求导数 f′ (x)；

( 3)由 f′ (x)＞ 0( f′ (x)＜ 0)解出相应的 x的范围．

当 f′ (x)＞ 0时， f (x)在相应的区间上是增函数；当 f′ (x)＜ 0时， f (x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．

三、高考真题讲与练

题型一、求单调区间

例 1. （ 2012年高考（山东理））已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求的单调区间;

(Ⅲ)设,其中为的导函数证明:对任意.

解:由 f (x)=可得,而,即,解得;

(Ⅱ),令可得,

当时,;当时,

于是在区间内为增函数;在内为减函数

(Ⅲ),

( 1)当时, ,

( 2)当时,要证

只需证即可

设函数

则,

则当时,

令解得,

当时;当时,

则当时,且,

则,于是可知当时成立

综合( 1)( 2)可知对任意 x> 0,恒成立

另证 1:设函数,则,

则当时,

于是当时,要证,

只需证即可,

设,,

令解得,

当时;当时,

则当时,

于是可知当时成立

综合( 1)( 2)可知对任意 x> 0,恒成立

另证 2:根据重要不等式当时,即,

于是不等式,

设,,

令解得,

当时;当时,

则当时,

于是可知当时成立