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勾股定理的逆定理应用举例

如果一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,这就是勾股定理的逆定理.它在数学中的应用非常广泛.下面举例说明勾股定理的逆定理在解题中的应用.

一、判断三角形的形状

例1、已知△ ABC的三边分别长为,且满足+ 0,则△ ABC是()

A.以为斜边的直角三角形

B.以为斜边的直角三角形

C.以为斜边的直角三角形

D.不是直角三角形

分析:把变形为,则都为非负数,而它们的和为0,根据非负数的性质可知,这三个非负数都是0,于是我们可求出的值.然后再根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形,若是直角三角形,最后再确定斜边.

解:根据题意,得=0,所以17158

.所以.根据勾股定理的逆定理,可知△ ABC是直角三角形,且斜边长是.故答案选A.

答案: A

二、求角的度数

例2、已知在△ ABC中, AB=AC=BC=1,求∠ A

分析:题目中的条件只告诉了我们三条边的长,并且三条边各不相等,因此可以考虑利用勾股定理的逆定理先判断三角形的形状,然后再确定∠ A的度数.

解:因为,所以

因此根据勾股定理的逆定理,可知△ ABC是直角三角形,且 BC边是斜边.

所以∠ A90°.

点评:若题目条件中,已知三角形的三边长,同学们就应该有利用勾股定理的逆定理来判断三角形形状的意识,判断两条较小边的和是否等于最大边的平方.

三、证两线垂直

3、如图1,在△ ABC中,D为 BC的中点, AB= 5AD= 6AC= 13,试判断 ADAB的位置关系.

分析:条件中所给的三条线段不是同一个三角形的三边,注意到 51213恰为一组勾股数,因此可考虑倍长中线 AD到一点 E,连接 CE,将已知条件转化到同一个三角形中,利用勾股定理的逆定理说明构造的三角形是直角三角形,进而判断出 ADAB的位置关系.解:延长 AD到一点 E,使 DE= AD,则 AE= 2 AD= 12,连接 CE

因为 ADBC边上的中线,所以 CD= BD.又因为 AD= DE,∠ ADB=∠ EDC,所以△ ABD≌△ ECD.所以 CE= AB= 5,∠ E=∠ DAB

在△ ACE中,因为

所以.根据勾股定理的逆定理,可知△ ACE是直角三角形,且 AC是斜边,所以∠ E= 90°.于是可得∠ DAB= 90°,所以 ADAB,即 ADAB是垂直关系.

点评:运用勾股定理的逆定理证明两直线垂直是常用的方法之一.如果条件中给出较多的线段长时,同学们应该有运用勾股定理的逆定理判断两线垂直的意识.

四、求线段的长

例4、如图2所示,在△ ABC中, DBC边上的一点,已知 AB= 15AD= 12AC= 13BD= 9,求 BC的长.

分析:根据已知条件无法直接求出 BC的长.因此可尝试利用勾股定理的逆定理

先找出图形中的直角三角形,然后再考虑利用勾股定理求出线段的长.

解:因为

所以.根据勾股定理的逆定理,可知

ABD是直角三角形.故△ ADC也是直角三角形.

RtADC中,根据勾股定理,得,所以 CD= 5

BC= BD+ CD= 14

五、求面积

例5、在如图 3所示的图形中, AB= 12BC13CD= 4AD3ADCD,求这个图形的面积.

分析:题目中的图形是不规则的,因此不能直接求出它的面积.根据已知条件,若连接 AC,则△ ACD是直角三角形,所求的图形面积可转化为求△ ABC的面积与△ ACD面积的差.其中 RtACD的面积易求得,于是只要求出△ ABC的面积即可,根据勾股定理的逆定理可说明△ ABC也是直角三角形,因此这个图形的面积就易求得.

解:连接 AC,则得 RtADC

RtADC中,根据勾股定理,得

所以 AC=5.

在△ ABC中,因为

所以.根据勾股定理的逆定理,可知△ ABC是直角三角形.

于是所求的图形面积=△ ABC面积-△ ADC的面积

=