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2012高考真题,观 2013高考趋势——导数及其应用( 2

题型二、求极值及极值点

2.2012广东理)(不等式、导数)设,集合.

(Ⅰ)求集合(用区间表示);

(Ⅱ)求函数内的极值点

解析:(Ⅰ)考虑不等式的解

因为,且,所以可分以下三种情况:

①当时,,此时.

②当时,,此时.

③当时,,此时有两根,设为,且,则,于是.

时,,所以,此时;当时,,所以,此时.

综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,其中.

(Ⅱ),令可得因为,所以有两根,且.

①当时,,此时内有两根,列表可得

所以内有极大值点 1,极小值点.

②当时,,此时内只有一根,列表可得

所以内只有极小值点,没有极大值点

③当时,,此时(可用分析法证明),于是内只有一根,列表可得

所以内只有极小值点,没有极大值点

④当时,,此时,于是内恒大于 0内没有极值点

综上所述,当时,内有极大值点 1,极小值点;当时,内只有极小值点,没有极大值点当时,内没有极值点

题型三、求最值

3.2012北京理)已知函数(),.

( 1)若曲线与曲线在它们的交点( 1,)处具有公共切线,求的值;

( 2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值

解:( 1)由为公共切点可得:,则

,则,∴

,即,代入①式可得:.

( 2)

,令,解得:

原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增

①若,即时,最大值为

②若,即时,最大值为

③若时,即时,最大值为.

综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为.

题型四、函数零点的判断

4.2012大纲理)已知函数的图像与轴恰有两个公共点,则 ( )

A2

B3

C1

D1

【解析】因为三次函数的图像与轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求而,当时取得极值

可得,即.