基础梳理
一、知识精要
1．导数的几何意义
函数 y＝ f (x)在 x＝ x0处的导数 f′( x0)是曲线 y＝ f (x)在点( x0, f( x0))处切线 l的斜率，切线 l的方程是 y－ f( x0)＝ f′( x0)( x－ x0)．
2．导数的物理意义
若物体位移随时间变化的关系为 s＝ f (t)，则 f′( t0)是物体运动在 t＝ t0时刻的瞬时速度．
3．函数的单调性
在( a, b)内可导函数 f (x)， f′ (x)在( a, b)任意子区间内都不恒等于 0.
f′ (x)≥ 0⇔函数 f (x)在( a, b)上单调递增；
f′ (x)≤ 0⇔函数 f (x)在( a, b)上单调递减．
二、归纳总结
【易误警示】
直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点．
【两个条件】
( 1) f′ (x)＞ 0在( a, b)上成立是 f (x)在( a, b)上单调递增的充分条件.
( 2)对于可导函数 f (x)， f′( x0)＝ 0是函数 f (x)在 x＝ x0处有极值的必要不充分条件
【三个步骤】
求函数单调区间的步骤：
( 1)确定函数 f (x)的定义域；
( 2)求导数 f′ (x)；
( 3)由 f′ (x)＞ 0( f′ (x)＜ 0)解出相应的 x的范围．
当 f′ (x)＞ 0时， f (x)在相应的区间上是增函数；当 f′ (x)＜ 0时， f (x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．
三、高考真题讲与练
题型一、求单调区间
例 1.（ 2012山东理）已知函数(为常数，是自然对数的底数)，曲线在点处的切线与轴平行
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，其中为的导函数证明:对任意.
解:由 f (x)=可得，而，即，解得；
(Ⅱ)，令可得，
当时，；当时，.
于是在区间内为增函数；在内为减函数
(Ⅲ)，
( 1)当时，，.
( 2)当时，要证.
只需证即可
设函数.
则，
则当时，
令解得，
当时；当时，
则当时，且，
则，于是可知当时成立
综合( 1)( 2)可知对任意 x> 0，恒成立
另证 1:设函数，则，
于是当时，要证，
只需证即可，
设，，
于是可知当时，成立
另证 2:根据重要不等式当时，即，
于是不等式，
于是可知当时成立
