一、知识总结：
1．命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
真命题：判断为真的语句．
假命题：判断为假的语句．
2．“若
，则
”形式的命题中的称为命题的条件，称为命题的结论．
3．原命题：“若，则”逆命题：“若，则”
否命题：“若
，则
”逆否命题：“若，则”
4．四种命题的真假性之间的关系：
（ 1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（ 2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
5．若
，则是的充分条件，是的必要条件．
若
，则是的充要条件（充分必要条件）．
利用集合间的包含关系：例如：若
，则 A是 B的充分条件或 B是 A的必要条件；若 A= B，则 A是 B的充要条件；
6．逻辑联结词：⑴且 (and)：命题形式
；⑵或（ or）：命题形式
；
⑶非（ not）：命题形式．
7．⑴全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用“
”表示；
全称命题：
；全称命题的否定：
．
⑵存在量词—“存在一个”、“至少有一个”等，用“
”表示；
特称命题：
；特称命题的否定：
．
二、专项训练
1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（）
A．简单命题
B．非 p形式的命题
C． p或 q形式的命题
D． p且 q的命题
答案： D
解析：“垂直平分”的含义是“垂直且平分”．所以是 D．
2．如果命题 p是假命题，命题 q是真命题，则下列错误的是（）
A．“ p且 q”是假命题
B．“ p或 q”是真命题
C．“非 p”是真命题
D．“非 q”是真命题
答案： D
解析：“ p且 q”型命题的真假是一假必假，“ p或 q”型命题的真假是一真必真，“非 p”型命题和命题 p的真假相反．所以答案是 D．
3．已知命题、，如果是的充分而不必要条件，那么是的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要
答案： B
解析：因为互为逆否命题的命题真假相同，所以是充分不必要条件，答案是 B．
4．命题“若
，则
是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ）
A 0
B 1
C 2
D 3
答案： C
解析：原命题是真，则逆否命题为真，逆命题为假，所以否命题为假，即有两个真命题，答案是 C．
5．下列命题中为全称命题的是（）
A．有些圆内接三角形是等腰三角形
B．存在一个实数与它的相反数的和不为 0
C．所有矩形都有外接圆
D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行．
答案： C
6．下列全称命题中真命题的个数是（）
①末位是 0的整数，可以被 3整除；
②对
为奇数．
③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
答案： C
解析：①比如 10，末位是 0，但不能被 3整除，所以是假命题；②③是真命题．答案是 C．
7．下列特称命题中假命题的个数是（）
①
；
②有的菱形是正方形；
③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
答案： A
解析：①比如 -1；②正方形都是菱形；③ 1既不是合数也不是素数．答案是 A．
8．命题“存在一个三角形，内角和不等于”的否定为（）
A．存在一个三角形，内角和等于
B．所有三角形，内角和都等于
C．所有三角形，内角和都不等于
D．很多三角形，内角和不等于．
答案： B
解析：存在命题的否定是全称命题：“所有三角形，内角和都等于”．答案是 B．
9．命题“ a、 b都是偶数，则 a+ b是偶数”的逆否命题是__________．
答案：若 a+ b不是偶数，则 a、 b不都是偶数．
解析：“是”的否定是“不是”，“都是”的否定是“不都是”．
10．（ 1）如果命题“ p或 q”和“非 p”都是真命题，则命题 q的真假是_________．
（ 2）如果命题“ p且 q”和“非 p”都是假命题，则命题 q的真假是_________．
答案：（ 1）真；（ 2）假
解析：（ 1）“ p或 q”型命题一真则真，“非 p”型命题和命题 p真假相反．所以“非 p”为真则 p为假，又因为“ p或 q”为真，所以 q为真．
（ 2）“ p且 q”型命题一假必假，“非 p”型命题和命题 p真假相反．所以“非 p”为假则 p为真，又因为“ p且 q”为假，所以 q为假．
11．填空：指出下列复合命题的真假．
( 1) 5和 7是 30的约数．（）
( 2)菱形的对角线互相垂直平分．（）
( 3) 8 x－ 5＜ 2无自然数解．（）
答案：（ 1）真；（ 2）真；（ 3）假
解析：( 1)“ p或 q”的形式．其中 p： 5是 30的约数； q： 7是 30的约数，为真命题．
( 2)“ p且 q”．其中 p：菱形的对角线互相垂直； q：菱形的对角线互相平分；为真命题．
( 3)是“┐ p”的形式．其中 p： 8 x－ 5＜ 2有自然数解．∵ p： 8 x－ 5＜ 2有自然数解．如 x＝ 0，则为真命题．故“┐ p”为假命题．
12．填空：判断下列命题真假：
（ 1） 10≤ 8（）
（ 2）π为无理数且为实数（）
（ 3） 2+ 2= 5或 3＞ 2（）
（ 4）若 A∩ B=
，则 A=或 B=（ ）．
答案：（ 1）假命题；（ 2）真命题；（ 3）真命题．（ 4）假命题．
解析：（ 1） 10> 8；（ 2）π为无限不循环小数，所以是无理数且是实数；（ 3）“ p或 q”型命题一真则真， 3＞ 2为真，所以命题为真；（ 4）若 A={有理数}， B={无理数}，则 A∩ B=．
13．求关于
的一元二次不等式
对于一切实数都成立的充要条件．
解析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化．
由题可知等价于
14．证明：对于
，
是
的必要不充分条件．
解析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件．
必要性：对于，如果
则
，
即
故是的必要条件
不充分性：对于，如果，如，
，此时
故是的不充分条件
综上所述：对于，是的必要不充分条件．
15．：
；：
．若
是
的必要不充分条件，求实数 m的取值范围．
解析：由于是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件．
于是有
16．已知：方程
有两个不等的负实根，：方程
无实根，若或为真，且为假，求
的取值范围．
解析：由命题可解得
，由命题可解得
；
由命题或为真，且为假，所以命题或中有一个是真，另一个是假．
（ 1）若命题真而为假则有
（ 2）若命题真而为假，则有
所以
．
