问题呈现
例：如图 1，把直角三角形 ABC的斜边 AB放在定直线上，按照顺时针方向在上转动两次，使它转到△ A ' ' B ' ' C ' '的位置，设 BC= 1， AC=,则点 A运动到点 A ' '的位置时，点 A两次运动所经过的路径长______（计算结果不取近似值）.
解题指导：
上面的问题看似复杂，但是通过分析可知，其路径长就是两段弧长的和，只要求得这两段弧长，问题就可以得到解决．那么如何求弧长呢？
如图 2，在半径是的圆中，圆心角所对弧长的计算公式为：.
温馨提示：（ 1）弧长公式推导的基础是圆周长公式推导弧长公式应抓住圆心角是的弧长等于圆周长的，即于是得圆心角所对的弧长为.
（ 2）公式中的意义是 1°的圆心角的倍数，计算时和 180都不带单位，若无精确要求，结果应保留弧长公式中共含三个量、、，已知其中任意两个可求出另一个
解析：因为 BC= 1， AC=,
所以 AB= 2，∠ ABC= 60°.
所以点 A第一次运动所经过的路径是以点 B为圆心、以 AB长为半径、圆心角等于 120°的弧；点 A第二次运动所经过的路径是以点 C′为圆心、以 C′ A′长为半径、圆心角等于 90°的弧.
所以点 A两次运动所经过的路径长为+=.
故填.
自我检测：
1、如图 3，一块含有 30°的直角三角板 ABC，在水平桌面上绕点 C按顺时针方向旋转到 A′ B′ C的位置，若 BC的长为 15 cm，那么顶点 A从开始到结束所经过的路径长为（）.
A. 12 cm
B. 10 cm
C. 15 cm
D. 20 cm
2、将边长为 8 cm的正方形 ABCD的四边沿直线向右滚动(不滑动)，当正方形滚动两周时，正方形的顶点 A所经过的路线的长是______ cm.
参考答案：
1、 D
提示：三角板在旋转过程中，点 A从开始到结束所经过的路径是以点 C为圆心，以 AC长为半径的圆上的一段弧，这段弧所对的圆心角是 120°，由 BC= 15 cm，∠ A= 30°，可知 AC= 30 cm. 则这段路径的长为= 30= 20.
2、 16+ 8
提示：当正方形 ABCD滚动一周时，所经过的路径是由三段圆弧组成.第一段是以第一个点 C（即第一次滚动时点 C的位置）为圆心，以 AC长为半径的一段弧，第二段是以第二个 D点为圆心，以 AD长为半径的一段弧，第三段是以第四个点 B为圆心，以 AB长为半径的一段弧，因为每次滚过的角度均为 90°，所以其弧长均为弧所在的相应的圆的周长的.
所以当正方形滚动两周时，正方形的顶点 A所经过的路线的长是：
2×（ 2×× 8+ 2× 8+ 2× 8）= 16+ 8.
