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破解圆锥问题的黄金密码

圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面圆的周长,若设圆锥的母线长为,底面圆半径为 r,侧面展开图的圆心角为,则有这就是圆锥问题的“黄金密码”,运用该“密码”,已知r中任意两个量即可求出第三个量下面举例说明

一、求圆锥的底面半径

1、用半径为 12㎝,圆心角为 90°的扇形纸片,围成一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面半径为().

A1.5

B3

C6

D12

解析:本题中,已知扇形的半径为 12㎝,圆心角为 90°,

所以= 12= 90°.

设圆锥的底面圆的半径为 r,则有,所以 r= 3.

故选 B.

二、求圆锥侧面展开图的圆心角

2、将一个半径为 6,母线长为 15的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展开,所得的侧面展开图的圆心角是______度

解析:已知= 15r= 6

设侧面展开图的圆心角为

则有,解得= 144°.

故填 144.

三、求圆锥的母线长

3、如果圆锥的底面周长是 20π,侧面展开后所得的扇形的圆心角为 120°,则圆锥的母线长是______.

解析:题中虽然没有给出圆锥的底面圆的半径,但给出了圆锥的底面周长是 20π,且已知= 120°,

所以设圆锥的母线长为,则由题意,得,解得= 30.

故填 30.

自我检测:

1、已知一个圆锥的底面半径为 2 cm,将其侧面沿一条母线剪开并展平,得到一个圆心角为 240°的扇形,则这个圆锥的侧面积为______ cm 2(结果用π表示)

2、如图 1,圆锥的底面半径为 5,母线长为 20,一只蜘蛛从底面圆周上一点 A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 A的最短路程是().

A8

B

C

D

参考答案:

16π

提示:要求圆锥的侧面积,需先求出母线长设母线长为,则有.

所以= 3.

所以圆锥的侧面积为π r=π× 2× 3= 6π( cm 2

2D

沿母线 OA把圆锥的侧面展开(如图 2).

由题意知,最短路线应为线段 AA′的长.而要求 AA′的长,需先求出扇形圆心角.

因为,所以= 90°,即∠ AOA′= 90°.

RtAOA′中, AA′=.