圆锥的侧面展开图是扇形,扇形的半径等于圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面圆的周长,若设圆锥的母线长为,底面圆半径为 r,侧面展开图的圆心角为,则有.这就是圆锥问题的“黄金密码”,运用该“密码”,已知, r,中任意两个量即可求出第三个量下面举例说明
一、求圆锥的底面半径
例 1、用半径为 12㎝,圆心角为 90°的扇形纸片,围成一个圆锥的侧面,这个圆锥的底面半径为().
A. 1.5㎝
B. 3㎝
C. 6㎝
D. 12㎝
解析:本题中,已知扇形的半径为 12㎝,圆心角为 90°,
所以= 12,= 90°.
设圆锥的底面圆的半径为 r,则有,所以 r= 3.
故选 B.
二、求圆锥侧面展开图的圆心角
例 2、将一个半径为 6,母线长为 15的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展开,所得的侧面展开图的圆心角是______度
解析:已知= 15, r= 6,
设侧面展开图的圆心角为,
则有,解得= 144°.
故填 144.
三、求圆锥的母线长
例 3、如果圆锥的底面周长是 20π,侧面展开后所得的扇形的圆心角为 120°,则圆锥的母线长是______.
解析:题中虽然没有给出圆锥的底面圆的半径,但给出了圆锥的底面周长是 20π,且已知= 120°,
所以设圆锥的母线长为,则由题意,得,解得= 30.
故填 30.
自我检测:
1、已知一个圆锥的底面半径为 2 cm,将其侧面沿一条母线剪开并展平,得到一个圆心角为 240°的扇形,则这个圆锥的侧面积为______ cm 2(结果用π表示)
2、如图 1,圆锥的底面半径为 5,母线长为 20,一只蜘蛛从底面圆周上一点 A出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 A的最短路程是().
A. 8
B.
C.
D.
参考答案:
1、 6π
提示:要求圆锥的侧面积,需先求出母线长设母线长为,则有.
所以= 3.
所以圆锥的侧面积为π r=π× 2× 3= 6π( cm 2)
2、 D
沿母线 OA把圆锥的侧面展开(如图 2).
由题意知,最短路线应为线段 AA′的长.而要求 AA′的长,需先求出扇形圆心角.
因为,所以= 90°,即∠ AOA′= 90°.
在 Rt△ AOA′中, AA′=.