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矩形折叠点缀中考

矩形由于本身所具有的特殊性,其折叠问题一直是考试的热点,为了帮助同学们了解有关矩形折叠题的一般解题,下面分类说明矩形中折叠问题的求解策略

解题指导:

一、求线段的长

对于折叠矩形求线段长时,一定要注意折叠后形成的直角三角形,利用折叠得到的线段之间的关系,结合勾股定理进行求解是常见的思路

1、将矩形纸片 ABCD按如图 1-1所示的方式折叠,得到菱形 AECF(如图 1-2).若 AB= 3,则 BC的长为()

A1

B2

C

D

分析:根据条件探究 RtABCBCAC之间的关系,然后利用勾股定理进行求解即可.

解:由对称的性质,可得 BC= CO.

因为四边形 AECF为菱形,则 AC= 2 CO,所以 AC= 2 BC.

因为四边形 ABCD是矩形,所以∠ B= 90°.

则在 RtABC中,由勾股定理,得 AC 2 - BC 2= AB 2.

所以 3 BC 2= 9,则 BC=.

所以边 BC的长是厘米

故选 D.

二、求角的度数

对于求角度问题,关键是确定折叠中,哪些角是相等的,以及探究由折叠构成的角与已知角和所求角之间的关系在解决问题的过程中还要充分利用矩形的对边平行和内角是直角的条件同时连续折叠对动手操作能力和空间想象能力要求较高,所以想象有点困难,最好的办法就是动手操作,然后画出折痕,明确折叠前后的图形,找出它们中边角之间的关系,然后充分利用这些关系求解

2、将矩形纸片 ABCD(图 2-1)按如下步骤操作:( 1)以过点 A的直线为折痕折叠纸片,使点 B恰好落在 AD边上,折痕与 BC边交于点 E(如图 2-2);( 2)以过点 E的直线为折痕折叠纸片,使点 A落在 BC边上,折痕 EFAD边于点 F(如图 2-3);( 3)将纸片收展平,那么∠ AFE的度数为()

A60°

B67.5°

C72°

D75°

分析:解决本题的关键是要能想象出折叠的整个过程,或动手操作展示折叠过程,并画出折痕,如图 2-1的虚线,然后利用轴对称的性质进行求解.

解:在第一次折叠时,可得∠ BAE=∠ EAF= 45°;

再由第二次折叠,可得∠ EA 1 F=∠ EAF= 45°,∠ AFE=∠ EFA 1=AFA 1.

因为在矩形 ABCD中, ADBC,∠ EA 1 F+∠ AFA 1= 180°,

所以∠ AFA 1= 135°.

所以∠ AFE= 67.5°.

故选 B.

三、求图形的面积

求折叠后三角形的面积时,要注意研究图形的结构特征,恰当地确定底边和高,不能盲目求解

3、把一张矩形纸片(矩形 ABCD)按如图 3方式折叠,使顶点 B和点 D重合,折痕为 EF.若 AB= 3 cmBC= 5 cm,则重叠部分△ DEF的面积是 cm 2

分析:因为 DC就是△ DEF的高,所以只需求出 DE的长即可.

解:折叠和矩形的性质,得∠ ADC= 90°, AB= DC,∠ A'DF=∠ ADC= 90°,∠ A '=∠ C= 90°, A'D= CD

所以∠ EDA '=∠ FDC.

所以△ EDA '≌△ FDC. 所以 DE= DF.

由折叠,得 DF= BF.

RtFDC中, CF 2+ DC 2= DF 2

即( 5 - DF 2+ 3 2= DF 2 解得 DF= 3.4.

所以 DE= 3.4,重叠部分△ DEF的面积是= 5.1cm 2).

自我检测:

1.如图 4,矩形纸片 ABCDMAD边的中点,将纸片沿 BMCN折叠,使点 A落在 A 1处,点 D落在点 D 1处,若∠ 140°,则∠ BMC的度数为______.

2.如图 5,矩形纸片 ABCD中, AB2 cm,点 EBC上,且 AEEC.若将纸片沿 AE折叠,点 B恰好与 AC上的点 B '重合,则 AC=______ cm.

参考答案

1. 110°

提示:由折叠可知∠ AMBAMA 1,∠ DMCDMD 1.

因为∠ 140°,所以∠ AMB+∠ DMCAMA 1DMD 1× 140°= 70°.

所以∠ BMC的度数为 180°- 70°= 110°.

2. 4

提示:因为 AB= 2 cmA B '= AB,所以 AB '= 2.

因为矩形 ABCDAE= CE

所以∠ ABE=∠ AB'E= 90°.

因为 AE= CE,所以 A B '= B ' C.

所以 AC= 4