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妙用“无解”巧解题

解分式方程可能会产生增根,此时原分式方程无解,因此验根是解分式方程必不可少的步骤同学们可以利用这个“无解”寻找解题途径,解决某些问题。现举例说明,供同学们学习时参考.

解题指导:

1.若关于的方程有增根,则的值为___________

分析:分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为 0的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值,即增根就是使分式方程的分母为 0的未知数的值.所以本题中原方程的增根只能是.

解:因为分式方程有增根,

即分式方程的分母为 0

所以增根只能是.

原分式方程去分母,得.

代入并整理,得.

故填- 1.

2.若分式方程=无解,则=——————

分析:分式方程无解是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:(一)原方程化去分母后的整式方程无解;(二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为 0,它是原方程的增根,从而原方程无解.本题属于第二种情况,即原方程去分母之后得到的整式方程的解恰好是原分式方程的增根.

解:原方程可化为=-

方程两边都乘以,得.解得

因为原分式方程无解,

所以这个解应是原方程的增根,即.

所以,解得

故当时,原分式方程无解.

故填 1.

自我检测:

1.若解分式方程产生增根,则的值是( )

A.- 1或- 2

B.- 12

C12

D1或- 2

2.若关于 x的方程无解,求 m的值.

参考答案:

1. B

因为解此分式方程产生增根,所以增根就是.

去分母,得.

分别将代入,

解得.

故选 B.

2.方程两边同时乘以 x -3,得 3-2 x -( mx+ 3)+ x -3= 0.

整理,得( m+ 1x= -3.

1)若整式方程( m+ 1x= -3无解,则原分式方程无解.

所以当 m+ 1= 0,即 m= -1时,此时方程( m+ 1x= -3无解,故原分式方程无解

2)当( m+ 1x= -3的解是原分式方程的增根 x= 3时,原分式方程无解.

所以把 x= 3代入方程( m+ 1x= -3,得 m= -2.

综上所述, m的值为 -12.