解分式方程可能会产生增根,此时原分式方程无解,因此验根是解分式方程必不可少的步骤同学们可以利用这个“无解”寻找解题途径,解决某些问题。现举例说明,供同学们学习时参考.
解题指导:
例 1.若关于的方程有增根,则的值为___________
分析:分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的两边都乘了一个可能使分母为 0的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值,即增根就是使分式方程的分母为 0的未知数的值.所以本题中原方程的增根只能是.
解:因为分式方程有增根,
即分式方程的分母为 0,
所以增根只能是.
原分式方程去分母,得.
将代入并整理,得.
故填- 1.
例 2.若分式方程=无解,则=——————.
分析:分式方程无解是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:(一)原方程化去分母后的整式方程无解;(二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的分母为 0,它是原方程的增根,从而原方程无解.本题属于第二种情况,即原方程去分母之后得到的整式方程的解恰好是原分式方程的增根.
解:原方程可化为=-.
方程两边都乘以,得.解得.
因为原分式方程无解,
所以这个解应是原方程的增根,即.
所以,解得.
故当时,原分式方程无解.
故填 1.
自我检测:
1.若解分式方程-=产生增根,则的值是( )
A.- 1或- 2
B.- 1或 2
C. 1或 2
D. 1或- 2
2.若关于 x的方程无解,求 m的值.
参考答案:
1. B
因为解此分式方程产生增根,所以增根就是或.
去分母,得.
分别将或代入,
解得或.
故选 B.
2.方程两边同时乘以 x -3,得 3-2 x -( mx+ 3)+ x -3= 0.
整理,得( m+ 1) x= -3.
( 1)若整式方程( m+ 1) x= -3无解,则原分式方程无解.
所以当 m+ 1= 0,即 m= -1时,此时方程( m+ 1) x= -3无解,故原分式方程无解
( 2)当( m+ 1) x= -3的解是原分式方程的增根 x= 3时,原分式方程无解.
所以把 x= 3代入方程( m+ 1) x= -3,得 m= -2.
综上所述, m的值为 -1或 2.