字词模式
句模式
段模式
系统设置
更多按钮
网址切换
保存状态
用户反馈
页面收藏
-AA+
小蚂蚁的“最短距离”——运用勾股定理求最短距离

解题指导:

勾股定理的应用非常广泛,运用勾股定理求解“最短距离”的问题经常在各地中考试题中出现,

解答立体图形中的“最短距离”问题的关键是:先将立体图形展开成平面图形,然后利用平面几何相关的知识,如:对称、线段公理,结合勾股定理求解。如果画出展开图形有困难,可通过制作模型的办法以帮助分析、解决问题。

1如图 1所示的正方体的棱长为 1,一只蚂蚁从正方体一个顶点 A出发爬行到另一个顶点 B,蚂蚁爬行的最短距离是()

A. 3

B. 2

C.

D.

1

2

解析:将正方体的侧面展开得到一个长方形(如图 2),欲使蚂蚁从点 A爬行至点 B的距离最短,根据“两点之间,线段最短”可知,线段 AB的长为从点 A到点 B的最短距离.

显然,线段 AB为直角三角形的斜边.

由图 2可知,直角三角形两直角边长分别为 12.

根据勾股定理可知,即.

故选.

2如图 3,一圆柱体的底面周长为,高 ABBC是直径,一只蚂蚁从点 A出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C的最短路程是().

A.

B.

C.

D.

3

4

解析:将圆柱体的侧面展开得到一个长方形(如图 4).由例 1知,线段 AC之长为蚂蚁爬行的最短路程.

由图 4可知, AD长为圆柱底面圆周长的一半,即= 12

又因为),

中,

根据勾股定理,得,因为在所给的四个选项的数据中,,只有 169较接近 160,即.

故选 C.

3如图 5,将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为*的长方体无盖盒子中,则细木棒露在盒外面的最短长度是_____.

5

6

解析:要使露在盒外面的细木棒最短,就必须使盒内部分的细木棒最长显然,按如图 6所示的方式放置,盒内部分的细木棒最长.

已知,只要求出线段 AB的长即可解决问题.

中,

根据勾股定理,得= 100.

所以.

中,

根据勾股定理,得.

所以.

所以细木棒露在盒子外面的最短长度为.

故填 5.

自我检测:

如图 7,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于 5 cm3 cm1 cm,点 AB是这个台阶的两个相对的端点,点 A上有一只蚂蚁,想到 B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从点 A出发,沿着台阶面爬到点 B,最短线路是多少?

参考答案:

把三个台阶展开成平面图形后(如图 8),可知 AC= 5BC= 12.

RtABC中,根据勾股定理,得 AB 2= AC 2+ BC 2

所以 AB 2= 5 2+ 12 2= 169,即 AB= 13.

所以蚂蚁爬到点 B的最短线路是 13 cm