解题指导:
勾股定理的应用非常广泛,运用勾股定理求解“最短距离”的问题经常在各地中考试题中出现,
解答立体图形中的“最短距离”问题的关键是:先将立体图形展开成平面图形,然后利用平面几何相关的知识,如:对称、线段公理,结合勾股定理求解。如果画出展开图形有困难,可通过制作模型的办法以帮助分析、解决问题。
例 1如图 1所示的正方体的棱长为 1,一只蚂蚁从正方体一个顶点 A出发爬行到另一个顶点 B,蚂蚁爬行的最短距离是()
A. 3
B. 2
C. 
D. 

图 1

图 2
解析:将正方体的侧面展开得到一个长方形(如图 2),欲使蚂蚁从点 A爬行至点 B的距离最短,根据“两点之间,线段最短”可知,线段 AB的长为从点 A到点 B的最短距离.
显然,线段 AB为直角三角形的斜边.
由图 2可知,直角三角形两直角边长分别为 1、 2.
根据勾股定理可知
,即
.
故选
.
例 2如图 3,一圆柱体的底面周长为
,高 AB为
, BC是直径,一只蚂蚁从点 A出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C的最短路程是().
A.
B.
C.
D.

图 3

图 4
解析:将圆柱体的侧面展开得到一个长方形(如图 4).由例 1知,线段 AC之长为蚂蚁爬行的最短路程.
由图 4可知, AD长为圆柱底面圆周长的一半,即
= 12(
)
又因为
(
),
在
中,
根据勾股定理,得
,
因为在所给的四个选项的数据中,
,
,只有 169较接近 160,即
.
故选 C.
例 3如图 5,将一根
长的细木棒放入长、宽、高分别为
、
和
的长方体无盖盒子中,则细木棒露在盒外面的最短长度是_____
.
图 5

图 6
解析:要使露在盒外面的细木棒最短,就必须使盒内部分的细木棒最长显然,按如图 6所示的方式放置,盒内部分的细木棒最长.
已知
,
,
,只要求出线段 AB的长即可解决问题.
在
中,
根据勾股定理,得
= 100.
所以
.
在
中,
根据勾股定理,得
.
所以
.
所以细木棒露在盒子外面的最短长度为
.
故填 5.
自我检测:
如图 7,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于 5 cm, 3 cm和 1 cm,点 A和 B是这个台阶的两个相对的端点,点 A上有一只蚂蚁,想到 B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从点 A出发,沿着台阶面爬到点 B,最短线路是多少?

参考答案:
把三个台阶展开成平面图形后(如图 8),可知 AC= 5, BC= 12.
在 Rt△ ABC中,根据勾股定理,得 AB 2= AC 2+ BC 2,
所以 AB 2= 5 2+ 12 2= 169,即 AB= 13.
所以蚂蚁爬到点 B的最短线路是 13 cm.