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转化思想在抛物线定义中的应用

抛物线上的点满足到其准线的距离等于该点到其焦点的距离,这个基本知识点是各类考试考查的重点若要运用好此知识点,首先要根据题目中所给抛物线找出其对应的焦点及准线,其次要根据抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线的准线的距离进行转化,转化就是解决此类问题的关键

【例 1】已知直线和直线,抛物线上一动点 P到直线和直线的距离之和的最小值是______

【解析】先把给出的抛物线方程化为标准形式,直线即为其准线,由抛物线的定义知,可把 P的距离转化为 P到抛物线的焦点的距离,故问题转化为在抛物线上找一点 P,使得 P到点和直线的距离之和最小,则最小值为到直线的距离,所以所求距离之和的最小值为.

【答案】

【点评】( 1)若抛物线的方程不是标准形式,应先画为标准形式,再通过抛物线的标准形式找出抛物线的焦点坐标和准线方程,这样有利于问题的求解;( 2)关于和与差的最值问题的求解策略:把在动点轨迹同侧的和或差的最值问题(如 P到直线P到直线距离都在动点 P所在的抛物线的外部)转化为动点轨迹异侧的和或差的最值问题(如点 P到焦点 F的距离在抛物线内部, P到直线的距离在抛物线外部)

1中的问题与距离有关,很容易想到根据抛物线的定义进行抛物线上的点到焦点的距离与该点到抛物线的准线的距离之间进行转化,实际上圆与直线相切问题也可以转化为圆心到直线的距离问题.

【例 2】动圆的圆心 C在抛物线上,且动圆恒与直线相切,则动圆必定过定点______

【解析】直线即为抛物线的准线,圆心 C在抛物线上且与抛物线的准线恒相切,即可得圆心 C到其准线的距离等于圆的半径,而抛物线上的点到其准线的距离也等于该点到其焦点的距离,得圆心 C到抛物线焦点的距离也恒等于圆的半径,即圆 C恒过定点.

【答案】

【点评】本题的解决的关键也是转化同时也可逆向思考,即动圆满足恒与直线相切且恒过点,求动圆圆心的轨迹方程,求解过程也需要进行转化

根据抛物线的定义可知,过抛物线焦点的直线与抛物线交于 AB两点,若,经过转化可得①;②以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切;③以 AF为直径的圆与 y轴相切.

【例 3】已知点 F是抛物线的焦点,直线 AB过点 F,交抛物线与 AB两点,点 AFB在抛物线的准线的射影分别为,则下列结论中成立的是______

;②;③;④.

【解析】由抛物线的定义可知,,所以以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切,切点为的中点,若的中点,此时,当不为的中点时,点在以以 AB为直径的圆的外部,此时AB垂直于 x轴时,,故填②③④

【答案】②③④

【点评】根据抛物线的定义可以得到一些抛物线的相关结论,这些结论有助于快速解决一些实际问题,所以应适当记忆