如图，在△ ABC中， BE是它的角平分线，∠ C= 90°， D在 AB边上，以 DB为直径的半圆 O经过点 E，交 BC于点 F．

（ 1）求证： AC是⊙ O的切线；

（ 2）已知，⊙ O的半径为 4，求图中阴影部分的面积．

【解析】

（ 1）连接 OE．根据 OB= OE得到∠ OBE=∠ OEB，

然后再根据 BE是△ ABC的角平分线得到∠ OEB=∠ EBC，

从而判定 OE∥ BC，

最后根据∠ C= 90°得到∠ AEO=∠ C= 90°，

证得结论 AC是⊙ O的切线．

（ 2）连接 OF，利用 S_阴影部分= S_{梯形 OECF}﹣ S_{扇形 EOF}求解即可．

【答案】

（ 1）连接 OE,

∵ OB= OE,

∴∠ OBE=∠ OEB.

∵ BE是△ ABC的角平分线,

∴∠ OBE=∠ EBC.

∴∠ OEB=∠ EBC.

∴ OE∥ BC.

∵∠ C= 90°,

∴∠ AEO=∠ C= 90°.

∴ AC是⊙ O的切线.

（ 2）连接 OF,

∵,

∴∠ A= 30°.

∵⊙ O的半径为 4,

∴ AO= 2 OE= 8.

∴ AE=，∠ AOE= 60°.

∴ AB= 12.

∴ BC=， AB= 6， AC=.

∴ CE= AC﹣ AE=．

∵ OB= OF，∠ ABC= 60°，

∴△ OBF是正三角形．

∴∠ FOB= 60°， CF= 6﹣ 4= 2.

∴∠ EOF= 60°．

∴．

∴.

本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．